Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Електродинаміка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

J Jme j J – комплексна амплітуда вектора густини струму.

Тоді: J Re( J e j t ) . Для векторів поля:

Re(

e j t ) ;

(Re(

e j t ))

j Re(D e j t ) .

Підставляючи отримані вирази в рівняння Максвела, маємо:

а) rotH J D ;

rot[Re(H e j t )] Re(J e j t ) Re( j De j t )

Перше припущення: замінимо рівність дійсних частин комплексного числа рівністю комплексних чисел;

Скорочуємо e j t :

rot

j (

)

Введемо

позначення:

– комплексна діелектрична

проникливість середовища. Остаточно:

rot

j a

– перше рівняння Максвела в комплексній формі.

б)

rot

;

rot[Re(

e j t )] Re( j

e j t )

Аналогічно (а):

rot

j a

В магнітних середовищах спостерігається інерційність процесів намагнічування, що приводить до фазової затримки сигналів; щоб описати таку затримку, вводиться поняття магнітної проникливості середовища:

a a' j a'' .

В цьому випадку друге рівняння Максвела буде таким:


	rot			j a		.
			E		H
в)	div			;
		D

	div[Re(D e j t )] Re( e j t ) .
Аналогічно:

	div D

г)	div		0 ;
г)	div	B	0 ;

	div(rot				) div( j		) div( j		)
	div(rot			E	) div( j	H	) div( j	B	)

Отже:

div B 0 .

При гармонічній зміні векторів поля, рівняння для них приймають спрощену форму запису.

			Граничні умови для векторів поля
			Під граничними умовами розуміють вирази,
			рівняння, які описують поведінку поля на границі розділу
			двох середовищ.
			Для	опису поведінки	векторів на	границі
A1n	A2n		використовується розклад вектора на дві складові:
			а) нормальну (перпендикулярно до границі
	A1t		розділу середовищ);
A1	A1t		б)	тангенційну (дотичну	до границі	розділу
A1	A2t		б)	тангенційну (дотичну	до границі	розділу
	A2t	A2	середовищ).
			середовищ).
			Після розкладу вивчимо окремо зміну нормальної
			Після розкладу вивчимо окремо зміну нормальної
			та тангенційної складових при переході через границю.

SТ

1) Граничні умови для нормальних складових векторів поля:

σ1, ε1, μ1 σ2, ε2, μ2

Виділяємо елементарний об’єм V у вигляді

циліндра.

SТ

ST – площа торця;

SБ – площа бічної поверхні.

Шукаємо

потік вектора A через поверхню

SБ

циліндра:

Ad S A1d S A2d S Ad S ;

Загальна

SТ

SБ

нормаль	Ai d S Ai	SТ	Ai SТ ni .

SТ

Ad S A1 n1ST A2 n2 ST Ad S A1n1 ST A2n2 ST Ad S .

S SБ SБ

Зменшуємо h (і зменшуємо ΔV):

0 A S

A S

0 ( A

lim

Ad S A

)S .

h 0

1n1

2n2

1n T

2n T

1) Магнітне поле: Bd S 0 . На границі для магнітного поля:

(B2n B1n )ST 0  B2n B1n 0  B1n B2n .

Отже, при переході через границю нормальна складова вектора магнітної індукції не змінюється.

a1H1n a2 H2n , тоді:

H1n a 2 H2n , а для нормальної складової H змінюється стрибком.

2) Електричне поле: Dd S q . На границі для електричного поля:

H (D	D	)S	q  D	D	q	, тобто:

2n	1n	T	2n	1n	ST

Якщо на границі розділу немає зарядів, розподілених по поверхні, то при переході через таку границю, нормальна складова вектора електричної індукції не змінює свого значення ( D1n D2n ).

Якщо ж уявити, що на границі розділу розміщені заряди з певною

поверхневою густиною R q , то в цьому випадку нормальна складова вектора

електричної індукції зміниться на величину R : D2n D1n R .

Нормальна складова вектора E завжди змінюється при переході через границю.

2) Граничні умови для дотичних складових векторів поля.

Виділяємо контур на границі розділу

σ1, ε1, μ1

σ2, ε2, μ2

середовищ.

Знайдемо циркуляцію вектора

A по цьому

контуру:

Ad , тоді:

d 1t

Ad .

Спрямовуємо h до нуля:

0 A1t d A2t d .

lim

d 1t

h 0

Отже,

lim

Ad ( A2t A1t )d .

h 0

1) Магнітне поле:

d S

;

2t H1t )d .

lim

Hd (H

h 0

Права

частина рівняння

переходить в нуль, оскільки

поверхня S

стискається до нуля. Припустимо, що вздовж границі розділу на її поверхні, не займаючи об’єму, протікають поверхневі струми – абстракція, близька до практики. В цьому випадку рівняння приймає вигляд:

(H2t H1t )d in .

Введемо поняття поверхневої густини струму:

ke lim i 1i ( 1i ), тоді:

H2t H1t iпов ke . d

Таким чином, дотичні складові H змінюються на величину густини поверхневого струму. Якщо поверхневі струми на границі відсутні, то дотичні складові H не змінюються: H1t H2t .

2) Електричне поле:

lim

Ed (E2t E1t )d 0 .

h 0

Отже: E1t

E2t .

Якщо припустити наявність магнітних струмів на поверхні, то при переході через границю дотичні складові E змінюються на величину поверхневої густини магнітного струму (див. симетричну форму рівнянь Максвела).

Граничні умови на екрані

Під екраном розуміють середовище, в якому відсутнє електромагнітне поле. Розглянемо границю з таким екраном:

1) E :

		En2 Et 2 0 .
E
E	H1
1	H1
1
		а) Et1 Et 2 Et1 0
			0
H2 E2 0			0	– Оскільки поле над екраном існує, то
H2 E2 0		б) Dn2 Dn1		– Оскільки поле над екраном існує, то
		R

Dn1 не може дорівнювати нулю, а отже, воно визначається поверхневою

густиною заряду, що накопичується на границі з екраном. Вектор електричного поля напрямлений перпендикулярно до границі.


2)		H :
Bn1 Bn2 a2 Hn2 0 ;							Bn1 0 .
H	2t H1t			0	, тоді H1t	0	– на границі з екраном магнітне поле має
H	2t H1t				, тоді H1t	0	– на границі з екраном магнітне поле має
			ke

дотичну складову, що визначається густиною поверхневих струмів. Тобто, в векторній формі: n H ke .

Енергія електромагнітного поля

Введемо поняття сторонніх джерел електромагнітного поля. До них відносяться джерела струму, в пристроях, які перетворюють певний вид енергії в електромагнітну.

Je J Jст E Jст .

Запишемо рівняння балансу енергії електромагнітного поля, яке

відповідає законам збереження енергії:

rotH Je

rotE

div[

]

Hrot

Erot

, тоді:

(

)

div[

]

(E D)

Візьмемо інтеграл, використовуючи теорему Остроградського-Гауса:

div[E H ]

[E H ]d S

EdV .

t V

а) Рівняння Пойтінга: Je EdV (J Jcn )EdV J EdV Jcn EdV .

V V V V

J EdV E 2dV – потужність теплових втрат (за законом Джоуля-

V V

Ленца). Отже,

J e EdV PT – потужність, яку віддає стороннє джерело в об’ємі V.

Вона викликана струмами провідністю , що протікають в даному об’ємі.

б) Логічними міркуваннями приходимо до: J ст EdV – PСТ – потужність,

яку віддає стороннє джерело в об’єм V .

в) Нехай

dV W , тоді:

t W – потужність, що визначається швидкістю зміни енергії в в об’ємі V .

Отже, W – енергія електромагнітного поля, зосереджена в об’ємі V .

Введемо позначення П E H – вектор Пойтінга. Він дає нам потужність

– це вектор густини потоку енергії електромагнітного поля, і чисельно рівний енергії, що переноситься полем через одиничну поверхню, перпендикулярну до напрямку поширення, за одиницю часу. Така потужність називається потужністю випромінювання, тобто:

Пd S P :

–якщо P 0 , то: P (потужність) виходить з даного об’єму;

–якщо P 0 , то: P (потужність) входить в даний об’єм. Остаточно:

PСТ

0 – рівняння балансу енергії електромагнітного

поля.

Для гармонічної зміни полів, вводять поняття комплексного вектора

Пойтінга. Тоді:

[

]

[

] , (* – означає комплексно спряжене).

Активну потужність визначають:

сер

Re[

Енергія поля:

H 2

E 2



		a E	2
а) We		a E				– енергія електричного поля;
а) We		2		dV		– енергія електричного поля;
	V	2
		a H 2
б) Wh						– енергія магнітного поля.
б) Wh		2			dV	– енергія магнітного поля.
	V	2

Хвильові рівняння та їх розв’язок

Під хвильовими рівняннями розуміють диференціальні рівняння другого порядку в частинних похідних від векторів поля, розв’язок яких описує процес поширення цього поля.

а) Отже, відомо, що: rot

(друге рівняння Максвела).

Візьмемо rot від лівої та правої частин:

rot(rot

)

rot

;

оскільки rot(rotE) grad(divE) 2 E

rotB

, а

div E

маємо:

				D
grad(div E) 2	E J				, звідси:
grad(div E) 2	E J				, звідси:
		a	t

2 E

grad

– перше

хвильове рівняння

t 2

Даламбера.

Отже: 2 E

(J , ) .

t 2

б) Візьмемо перше рівняння Максвела rot

. Аналогічно:

rot(rot

) rot

rot

Тоді: grad(div H ) 2

H rot J

, звідси, оскільки grad(divH ) 0

і B a H , то:

0 2 H rot J a a 2 H . Звідси:t 2

2 H a a

rot J

E a a

grad

Для гармонічних полів хвильові рівняння переходять в рівняння Гельмгольца. Використовується комплексна амплітуда:

( j )2

;

t 2

Тоді:

2			2
	E
				a		a E fe (J , )	.

	2			2
		H			a a H fh (J )

Якщо відсутня права частина, то таке рівняння називається однорідним. Ним користуються у випадку, коли джерела поля знаходяться поза досліджуваним об’ємом.

Для комплексної форми рівнянь Гельмгольца, вводять константу:


					k							a a – комплексне хвильове число.

	2	H k					2	H 0
		H k						H 0					,
													,
2				E	k 2			E		0



2	E					k		2	E				0 .
						k							0 .
			H								H

Розв’язок хвильових рівнянь шукається методом розділення змінних. Кожне з цих рівнянь розписується на три по проекціям векторів в просторі:

Візьмемо для прикладу проекцію Ex :

Ex k 2 E 0 .

y 2

z 2

Представимо Ex функцією трьох змінних, які залежать лише від своєї координати:

x y z .

Тоді:

2 y

k 2

0 . Ділимо на

z x2

z y2

y z2

1 2

1 2 y

1 2

k 2

;

k 2 k 2

k 2

k 2 .

Отже:

kx2

Ae jkx x Be jkx x

1 2 y

jky y

k y

0 

y Ae

Ae jkz z Be jkz z

kz2

Звідси:

Ex x y z

Ex1 e j k r Ex2 e j k r .

З вихідного рівняння також можна виділити, що:

ikx

jky kkz

– хвильовий вектор;

–

радіус-вектор

до

точки

спостереження.

Звідси: добуток k r можна представити так:

k r k .

Врезультаті розв’язок хвильового рівняння матиме таку форму:

Ex1 e j k Ex2 e j k .

Розв’язок хвильового рівняння для кожної з проекцій описує поширення двох хвиль: прямої (падаючої) та зворотної (відбитої).

При певних умовах модуль Ex2 може дорівнювати нулю, і тоді зворотня хвиля буде відсутня.

Домножимо розв’язок на e j t :

Ex (t) Ex1 e j ( t k ) ; відкидаємо уявну частину і маємо:

Ex (t) Re(Ex1 e j ( t k ) ) Ex1 cos( t k ) .

Отже:

Ex (t) Ex1 cos(t k ) .

Ті ж самі рівняння застосовуються і для проекцій Ey (t) ,

H y (t) , H z (t) .

Ez (t) , H x (t) ,

Електромагнітні хвилі та їх характеристики

Основні характеристики хвильового процесу:

При змінних в часі джерелах, електромагнітне поле носить хвильовий характер і поширюється у вигляді хвилі.

Розглянемо хвильовий процес, який є гармонічним, тобто змінюється за

законом

косинуса або

синуса:

f0 cos

. В комплексній формі:

– фазова стала (коефіцієнт фази).

f f

j t

e j ( t z )

, де

Фаза процесу визначається t

t z .

Параметри електромагнітних хвиль:

а)

Період хвилі –

T –

час,

за який фаза хвилі в даній точці простору

зміниться на 2 .

t T

2 ;

T 2 1 .f

б) Довжина хвилі – відстань, яку проходить фазовий фронт хвилі за період.

	z		z
t T		t		;

	v		v

Tv 2 v 2 .

в) Швидкість поширення фазового фронту, фазова швидкість vф – математичне поняття, оскільки фронт – нематеріальний об’єкт.

г) Групова швидкість, vгр – швидкість перенесення сигналу (інформації) за

допомогою хвилі. В більшості випадків вона співпадає із швидкістю перенесення енергії хвилі.

Для того, щоб передати сигнал, необхідно мінімум дві гармоніки:

f1 f0e j[( )t ( ) z] f2 f0e j[( )t ( ) z]

	∆t		Тоді: f			f		f		f e j ( t z) 2cos(t z) ;
f	∆t						1		2		0
							1		2		0
			t1 z1 t2 z2 ;
			t1 z1 t2 z2 ;
			z2 z1				z				;
			t	2	t		t
		z		2	1
		z			z		;
			v		z		;
			гр		t
					t

Отже: vгр d . d

д) Дисперсність хвилі:

Оскільки: v

;

v ;

гр

vгр

2 2

vгр v dd v , то:

v 2 dv .

Залежність фазової швидкості хвилі від її частоти називають дисперсією. Розглянемо кілька можливих варіантів:

– v

v – дисперсія відсутня;

гр

– v

v – нормальна дисперсія;

гр

– v

v – аномальна дисперсія.

гр

Особливості передачі сигналів в середовищі з

0 . Пошлемо сигнал,

наприклад,

прямокутним

імпульсом

середовищі з

0 . Тоді у випадку дисперсії

ми приймемо „розмитий” сигнал, оскільки кожна

гармоніка сигналу ( f ,

2 f ,

3 f ...) має

свою

власну швидкість поширення сигналу (див.

мал.).

Поле плоскої електромагнітної хвилі

Розглянемо плоску однорідну електромагнітну хвилю – хвилю, в якої її фронт є площиною, а також наявне співпадіння фазового та амплітудного її фронтів.

	x	З розв’язку хвильових рівнянь для
	x	електромагнітних процесів маємо:
		електромагнітних процесів маємо:

			Ex					Ex Em exp[ jk ] Em exp[ jk ] ,
			Ex					y
					z			z
					z			де
	Ey							де
	Ey							Em exp[ jk ] – пряма хвиля,
y								Em exp[ jk ] – пряма хвиля,
y								Em exp[ jk ] – зворотня хвиля.
								Em exp[ jk ] – зворотня хвиля.
Тут	E	x		Ey		E	z	0 .
		x					z
	x			y		z
	x			y		z

Підставивши вираз для хвилі в рівняння Максвела, маємо:

а) Ex H z

0 . Отже, поле плоскої хвилі поперечне (тобто H і E лежать

перпендикулярно до осі (осі z ) до напрямку поширення.

б) Розвернемо систему координат паралельно до

E , і встановлюємо, що другий вектор буде направлений

по другій поперечній координаті.

Отже, вектори E та H

– взаємоперпенди-кулярні.

в)

zc .

zc – хвильовий (характеристичний) опір середовища.

Для повітря та вакууму, маємо: a 0 , a 0 , тобто: zc 120 370

[Ом].

В повітрі та вакуумі вектори E та H плоскої хвилі синфазні, тобто a , a

– дійсні величини.


г)	E Em exp[ j k z] ; нехай k			j , тоді:
	E E	m	e z e j z , де e j z	– хвильовий множник.
		m
Тут – коефіцієнт амплітуди (амплітудна стала). виражений в [дБ] і є
коефіцієнтом загасання.
	– характеризує фазу (фазова стала або фазовий множник, коефіцієнт

фази). Цей параметр задає фазову швидкість:

v	;	2	;	v		d	.
					гр	d
						d

Отже, в процесі розповсюдження в реальних середовищах, в яких наявні певні втрати енергії, хвиля (як складова E , так і складова H ) з часом затухає.

Напрямок поширення енергії задається вектором Пойтінга:

[E H ] [iEx

jH y ] k (Ex H y ) k Пz

Поляризація електромагнітної хвилі

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025636.93 Кб0Електричні вимірювання та електровимірювальні п...doc
#
01.07.2025296.45 Кб0Електричні кола постійного струму.doc
#
01.07.2025629.76 Кб0Електричні машини змінного струму.doc
#
12.02.20161.58 Mб39ЕЛЕКТРОБЕЗПЕКА-МЕТОДИЧКА.pdf
#
21.04.20193.12 Mб6електровик в індукц установках.doc
#
12.02.20161.07 Mб52Електродинаміка.pdf
#
12.02.2016465.09 Кб106Електромеханічні перехідні процеси. Конспект лекцій. 2015.pdf
#
01.04.20251.26 Mб0електроніка та мікросхемотехн.редагування.doc
#
12.02.2016528.38 Кб22Електроніка,ч1.pdf
#
25.11.2018103.1 Кб1Електронні послуги в законодавстві Казахстану.....docx
#
02.09.2019330.75 Кб16Електронно оптичні перетворювачі.doc