Ошибка в определении Ecn по формуле (2.19) составляет при Ecn∞ /U0 ≤ 2 менее 13%.

Окончательно формула для частоты генерации в квантоворазмерных гетероструктурах принимает вид

p

где æ0k = 2mkb Ek/~2 характеризует глубину проникновения волновых функций в барьерные слои. В лазерных сверхрешетках на основе GaAs − AlGaAs при D ≥ 100˚A величина æ0D превышает обычно 5. Поэтому состояния в квантовых ямах взаимодействуют слабо и система действует, практически, как набор независимых квантовых ям. Учет конечной толщины барьерных слоев в этом случае не приводит к существенным поправкам.

Таким образом, в квантоворазмерных лазерах появляются новые возможности управления частотой генерации. Кроме подбора материала активной области, изменения легирования, добротности резонатора, уровня накачки и температуры, положением уровней подзон и, соответственно, частотой генерации можно управлять, варьируя толщину активного слоя, высоту потенциальных барьеров, их ширину и состав эмиттеров, изменяя ориентацию квантоворазмерных слоев. Приведенные аналитические выражения для энергии генерируемых квантов позволяют в каждом конкретном случае оценить пределы изменения hνg.

2.3.Инверсная заселенность

Хотя первые сообщения о лазерном действии гетероструктур с квантовыми ямами появились в 1978 г., практический интерес к таким структурам возник с 1982 г., когда стало возможным создавать оптимальные сверхрешетки. Использование квантовых потенциальных ям открывает новые возможности улучшения характеристик гетеролазеров и управления их внутренними параметрами. Лазерный эффект уже достигнут в структурах типа квантовая проволока и квантовая ячейка (рис.2.8). Поэтому нужны оценки пороговых условий накачки.

63

Рис. 2.8. Схематическое изображение активной области лазерных гетероструктур обычного типа (а), с квантовой ямой (б), в виде квантовой проволоки (в) и квантовой ячейки (г). d – толщина активного слоя, w – его ширина, L – длина резонатора.

Вкачестве ориентира ожидаемых токов инжекции может служить уровень накачки, требуемый для достижения инверсной заселенности в активной области. Плотность тока инверсии – важный спектроскопический параметр гетероструктур с квантоворазмерной активной областью. Он показывает минимально возможный порог генерации при высоком квантовом выходе люминесценции и эффективной инжекции неравновесных носителей тока [10].

С переходом от объемного случая к одно-, двух- и трехмерному квантовому ограничению плотность состояний носителей тока изменяется от корневой до ступенчатообразной, обратнокорневой и дельтаобразной соответственно, как показано на рис.2.9. При этом характерным образом трансформируются спектры поглощения, усиления и спонтанного испускания.

Вслучае одномерного ограничения из-за ступенчатого распределения плотности состояний концентрация электронов в условиях статистического равновесия в квантовой яме составляет

Здесь эффективная плотность состояний Nc1 = mckT /π~2d обратнопропорциональна толщине активного слоя d, T – температура электронного газа, Fe – квазиуровень Ферми для электронов. Вводя квазиуровень Ферми для дырок Fh и учитывая наличие тяжелых и легких дырок с эффективными массами mvh и mvl соответственно, для концентрации дырок в квантовой яме находим

64

Рис. 2.9. Распределение плотности состояний ρc(E) в зоне проводимости при отсутствии размерного квантования (штриховая кривая), в случае квантовой ямы, d = 200˚A (ступенчатая кривая), для квантовой проволоки, d = w = 200˚A (пилообразная кривая) и при трехмерном квантовом ограничении, d = w = L = 200˚A (дискретные уровни). mc = 0.07me, цифры показывают квантовые числа и факторы вырождения (в скобках) уровней подзон.

Здесь Nvi1 = mvikT /π~2d, Ev0 –потолок валентной зоны, Evin – начальные уровни подзон в валентной зоне, а индекс i = h, l относится к тяжелым и легким дыркам соответственно. Концентрации электронов и дырок связаны между собой условием электронейтральности p = n + N, где через N обозначена разность концентраций ионизованных акцепторов и доноров.

В выражениях (2.21) и (2.22) суммирование производится по подзонам, возникающим в квантовых ямах. При достаточно большой величине потенциальных барьеров уравнения для уровней подзон имеют вид (2.3). При этом выполняется

где mri = mcmvi/(mc + mvi) – приведенная масса с учетом соответствующих дырок.

Положение уровней возникающих подзон показано на примере структуры GaAs −AlGaAs на рис.2.10. При заданной разности ширин запрещенной зоны Eg контактирующих материалов и указанных значениях эффективных масс электронов mc, тяжелых дырок mvh и легких дырок mvl в квантовых ямах шириной 200˚A реализуется до трех подзон электронов, пять подзон тяжелых дырок и две подзоны легких дырок.

65

Рис. 2.10. Положение уровней подзон электронов (e), тяжелых (hh) и легких (lh) дырок в квантовых ямах гетероструктуры GaAs − AlGaAs. Барьер

взоне проводимости составляет 0.16 эВ, в валентной зоне – 0.06 эВ, d =

200˚A, mc = 0.07me, mvh = 0.5me, mvl = 0.12me.

Вслучае прямых переходов в квантовых ямах на правило отбора по волновому вектору электрона в плоскости его компонентов kx, ky налагается условие сохранения номера подзоны. Правило отбора по квантовому числу n = 0 строго выполняется для бесконечно больших барьеров. Однако и

вреальных случаях интегралы перекрытия огибающих волновых функций наиболее близки к единице лишь для межзонных переходов с сохранением квантового числа n. Таким образом, спектры поглощения и спонтанного испускания представляются суперпозицией отдельных полос, связанных с оптическими переходами между подзонами с одинаковым номером n.

Суммируя по всем возможным межзонным переходам на частоте света ν аналогично тому, как это делается в объемном случае, для коэффициента усиления, равного коэффициенту поглощения света с обратным знаком, получаем

где

Ecni = Ec0 + (mri/mc) (hν −Eg) + (mri/mvi) Ecn −(mri/mc) Evin,

66

Evni = Ev0 −(mri/mvi) (hν −Eg) + (mri/mvi) Ecn −(mri/mc) Evin.

Это – уровни энергии, между которыми происходят прямые переходы на частоте ν. В предельном случае бесконечно больших потенциальных

барьеров для этих пар уровней, учитывая (2.23), находим Ecni = Ec0 +

(mri/mc) (hν −Eg) ,Evni = Ev0 −(mri/mvi) (hν −Eg).

Переходы между подзонами начинаются с квантов света hνni = Eg +

Ecn + Evin. Поэтому в (2.24) фигурирует ступенчатая функция Hni со значениями Hni = 1 при hν ≥ hνni и Hni = 0 при hν < hνni.

Параметр αni учитывает поляризационную зависимость вероятности оптических переходов. Он определяется не только ориентацией напряженности электрического поля электромагнитной волны относительно плоскости квантоворазмерных слоев, но и положением уровней подзон, участвующих в оптическом переходе. Для квантоворазмерных гетероструктур на соединениях AIII BV , выращенных, например, в плоскости (100), поляризационный параметр αni на частоте начальных переходов νni для ТЕ-моды составляет величину 3/2 для тяжелых дырок и 1/2 для легких дырок. Для ТМмоды в случае начальных переходов с участием тяжелых дырок αni = 0, а для легких дырок значение αni достигает 2. Вектор напряженности электрического поля в ТЕ-моде ориентирован в плоскости усиливающих слоев, а в ТМ-моде он перпендикулярен этой плоскости. Для изотропной радиации,

квантов света hν1h = Eg + Ec1 + Evh1, с которой начинаются переходы между первыми подзонами электронов и тяжелых дырок, то в интервале частот, удовлетворяющих условию hν1h ≤ hν ≤ F, возникает усиление света.

Аналогичным образом получаем выражение для скорости спонтанных переходов:

Отметим, что в (2.26) проведено усреднение по всем возможным направлениям поляризации излучения. Чтобы получить скорость спонтанной рекомбинации Rsp, необходимо проинтегрировать (2.26) по энергии испускаемых

67

Рис. 2.11. Спектры усиления (поглощения) (сплошные кривые) и спонтанного испускания (штриховые кривые) при T = 300 K в нелегированной квантовой яме на GaAs, d = 200˚A. F − Eg = 15 (1,3); 50 мэВ (2,4). Пары цифр 11 и 22 указывают номера подзон для переходов с участием тяжелых дырок, цифры 1010 обозначают переходы с участием 1-й подзоны легких дырок.

фотонов.

Форма спектров усиления (поглощения) и спонтанного испускания показана на рис.2.11. Кривые 1 и 3 соответствуют F = hν1h, т.е. началу инверсной заселенности в квантовой яме. Если использовать пара-

метры GaAs, то Acv ≈ 1.5 × 109 c−1 и нормировочные коэффициенты составляют æ0 = Acvme/π~2vρd ≈ 3.2 × 104 см−1, r0 = Acvme/π~2d ≈ 3.1 × 1029c−1·см−3·эВ−1 при d = 200˚A.

Подставляя (2.25) в (2.26), для скорости излучательной рекомбинации в случае больцмановского распределения носителей тока в зонах, когда

Если распределение носителей в одной из зон вырожденное, то выражение для Rsp также упрощается. Приближенно для n-типа имеем Rsp ≈ Acv p, а для p-типа – Rsp ≈ 2Acvn, где концентрации p и n зависят через Fh и Fe от тока.

Связь между плотностью тока и скоростью излучательной рекомбинации устанавливается из условия непрерывности для электрического тока и кинетических уравнений баланса для электронов и дырок. Таким образом,

68

Рис. 2.12. Изменение плотности тока инверсии jinv с шириной кванто-

вой ямы d при различных температурах T =80(1), 200(2), 300(3), 400 К(4).

η`η0 = 1.

приравнивая F значению hν1h и вводя квантовый выход люминесценции η` и инжекционную эффективность η0, можно определить плотность тока инверсии jinv = edRsp/η`η0.

При одномерном ограничении из-за ступенчатого характера распределения электронных состояний эффективная плотность состояний прямопропорциональна температуре носителей тока T и обратнопропорциональна толщине активного слоя d. В результате плотность тока инверсии jinv линейно возрастает с T и практически не зависит от d, в отличие от известных зависимостей для обычных, объемных, лазерных гетероструктур.

Оценки jinv в больцмановском приближении (2.27) для GaAs представлены на рис.2.12. При высоких температурах появляется зависимость jinv от d. Она вызвана более заметным вкладом в скорость спонтанной рекомбинации Rsp высоколежащих подзон энергетических состояний. Добавка, связанная с этими подзонами, приводит также к отклонению от прямой зависимости jinv (T ). С введением в активную область донорных примесей величина jinv падает. При легировании акцепторами она сперва возрастает, а затем убывает. Следует иметь в виду, что данное приближение дает завышенные значения jinv.

Точное аналитическое выражение для jinv удается получить в двухзонной модели, когда эффективные массы электронов и дырок одинаковы:

70

Аналогичным образом получаем выражение для скорости спонтанных переходов rsp(hν), которое связано с K(ν) универсальным соотношением [1]:

Интегрируя (2.30) по энергии испускаемых фотонов, определяем скорость спонтанной рекомбинации Rsp. Очевидно, что с учетом постоянства коэффициента A, где hν ≈ Eg, имеем

В отличие от объемного случая, когда скорость спонтанной рекомбинации прямо связана с произведением концентраций неравновесных электронов и дырок, здесь Rsp равно сумме произведений концентраций электронов и дырок в соответствующих подзонах. При этом спектры усиления и люминесценции сглажены по сравнению с зубчатообразными спектрами в случае прямых переходов.

Таким образом, в модели без правила отбора параметр jinv возрастает с температурой, как T 2. Выражение для jinv имеет вид

где разность квазиуровней Ферми электронов Fe и дырок Fh составляет

F = Fe −Fh = Eg + Ec1 + Evh1.

Если для оценок использовать параметры объемных лазеров на GaAs, то можно принять A ≈ 8 ×10−10 см3/c. Тогда расчеты (рис.2.13) дают jinv ≈ 120 A/см2 при T = 300 K и d = 200˚A, что согласуется с экспериментальными данными для лазеров с квантовыми ямами в системе GaAs −AlGaAs.

В квантовой яме при нарушении правила отбора по волновому вектору электрона коэффициент A в принципе может зависеть от d. По аналогии с классической моделью, развитой для объемных лазеров (G.Lasher and F.Stern, 1964), для оценки коэффициента A рассмотрим переходы между

71

Рис. 2.13. Значения jinv в зависимости от ширины квантовой ямы d для уровня легирования N = 1018 (1), 0 (2), −5 ·1017 см−3 (3), T = 300 K, η`η0 = 1. Пунктир соответствует учету только 1-х подзон электронов и тяжелых дырок, N = 0, A0 = 8 ·10−10 см3/с.

возмущающим примесным состоянием и уровнями подзон, учитывая только компоненты волнового вектора электрона в плоскости активного слоя. Тогда находим A = Asd, где As = 4πa20Acv, a0 – эффективный боровский радиус примеси. Если учесть, что A0 = 32πa30Acv, то имеем связь A = A0d/8a0. Для GaAs при наличии акцепторов можно принять a0 = 17˚A. Тогда выполняется A ≈ A0, когда d порядка 140˚A.

Рассмотренная модель без правила отбора носит приближенный характер. Однако она позволяет прямо учесть бимолекулярность рекомбинации, дает сглаженные, как на эксперименте, спектры усиления и испускания, отражает несовершенство лазерных структур.

В квантовых проволоках движение носителей ограничено по двум на-

правлениям. В этом случае плотность состояний в пределах отдельной под-

√

зоны спадает с энергией электронов E как 1/ E (рис.2.9):

Здесь Ecnl – начальные уровни подзон с квантовыми числами n,l = 1,2,3....

Если d = w, то уровни подзон с квантовыми числами n = l оказываются дважды вырожденными. При анизотропной эффективной массе носителей вырождение может сниматься.

Заполнение подзон электронами описывается интегралом Ферми Φ−1/2

где Nc2 = p2mckT /π/~dw. Аналогичное выражение легко получить и для концентрации дырок p.

Спектр поглощения в квантовой проволоке повторяет форму плотности состояний. Пики поглощения, а также спонтанного испускания соответствуют частотам hνnli = Eg + Ecnl + Evinl , где индекс i относится к тяжелым и легким дыркам. Здесь важным становится уширение уровней подзон, вызванное, в частности, релаксацией энергии носителей из-за рассеяния на фононах, примесях и других дефектах решетки. Учет уширения уровней необходим при расчете спектров усиления.

В больцмановском приближении для скорости спонтанной рекомбинации получаем

реходе проекция квазиимпульса электрона на ось структуры сохраняется. Уменьшение сечения активной области d × w увеличивает плотность тока инверсии: jinv 1/w из-за роста плотности состояний в нижних подзонах электронов и дырок.

При нарушении правила отбора по волновому вектору электрона пара-

где F = Fe −Fh = Eg + Ec11 + Evh11. Оценки для GaAs с учетом шести подзон в зоне проводимости, восьми подзон тяжелых дырок и нижней подзоны легких дырок дают jinv порядка 40 A/см2 при 300 К и размерах сечения активной области 200 × 200˚A. Концентрация электронов и дырок, необходимая для получения усиления света, достигает величины 8.7 ×1017 см−3. При расчетах jinv полагалось, что рекомбинация осуществляется между подзонами с одинаковыми квантовыми числами и A ≈ A0.

При трехмерном квантовом ограничении носителей, когда длина резонатора L порядка d и w, ток инверсии практически перестает зависеть

73

от температуры. Однако концентрация локализованных в квантовой ячейке электронов и дырок в условиях инверсной заселенности существенно возрастает с уменьшением объема активной области.

Учитывая дискретный характер уровней в квантовой ячейке для концентрации электронов имеем

где Nc3 = 2/dwL, Ecnlm – уровни энергии с квантовыми числами n,l,m = 1,2,3.... Аналогичным образом находим p. Если d = w = L, то некоторые уровни могут быть трехили шестикратно вырождены (рис.2.9).

Эффективные плотности состояний Nc3 и Nvi3 обратно пропорциональны объему квантовой ячейки V = dwL. Очевидно, что при заметном проникновении волновых функций в барьерные области вместо d,w и L следует использовать значения, характеризующие эффективные размеры области локализации носителей. Это относится и к случаям одноили двухмерного ограничения. Поэтому часто удобнее пользоваться не объемными значениями эффективных плотностей состояний, а поверхностными значениями Ns (см−2), рассчитанными на единицу площади p −n-перехода, линейной плотностью состояний N` (см−1) в расчете на единицу длины квантовой проволоки и безразмерным фактором заполнения N0 дискретных уровней в квантовой ячейке. Очевидно, в последнем случае максимальное число электронов или дырок на отдельном уровне составляет из-за спина N0 = 2.

Спектры поглощения и испускания квантовых ячеек представляют собой набор линий на частотах hνnlmi = Eg + Ecnlm + Evinlm. При этом, когда вероятность переходов определяется коэффициентом Acv (прямые переходы, т.е. учитываются периодические по кристаллу части блоховских функций), jinv пропорционально Acv/wL. Если вероятность переходов задается A (переходы без правила отбора, т.е. блоховские функции возмущены несовершенствами кристалла), то jinv A/dw2L2.

В случае прямых переходов величина jinv оценивается из выражения