4.7. Сортування злиттям або об’єднанням
Методи цього класу працюють за таким принципом: невідсортовану вхідну множину довільно розбивають на підмножини М1,..., Мp. Потім ці підмножини сортують окремо одним з відомих методів сортування і об’єднують в одну відсортовану множину .
Продемонструємо цю схему на двох множинах, оскільки багаторазове злиття можна здійснювати багаторазовим виконанням попарного злиття.
Нехай маємо дві відсортовані множини X і У; потрібно об’єднати їх у множину Z , яка також повинна бути відсортованою. У ролі Z1 приймаємо min (x1, y1) якщоZ1 = x1є X, тоді Z2 = min(x2, y1 ) і т.д.
Для запису алгоритму використовуємо таке позначення: і - індекс для множини X , j - індекс для множини Y , k – індекс для множини Z, i=1..n; j=1..m; k=1..(n+m).
Для зручності розмістимо в кінці кожної множини фіктивні елементи: xn+1= max, ym+1 =max.
Алгоритм C
Дано X={ x1 ,…, xn }; Y={ y1 ,…, ym }.
C1. Ініціалізація індексів i=1, j=1, k=1;
C2. Виконувати C3, C4 доки k<n+m.
С3 [Якщо xi < yi то [ zk = xi; i=i+1] інакше [ zk=yi, j=j+1]
C4. k=k+1]
C5. Кінець. Вихід.
В квадратних дужках записані дії які повторюються. Кількість порівнянь, яку необхідно виконати в алгоритмі С для злиття двох множин, дорівнює |x|+|y|=n+m.
Вся процедура злиття разом вимагає не більше ніж n порівнянь для n елементів i потрібно буде виконати log2 n переходів із однієї множини у другу. Тобтоалгоритм С вимагає п log2 n порівнянь.
Час роботи алгоритму злиття T(n) для n елементів задовольняє рекурентному співвідношенню: T(n) = 2∙T(∙n/2) + O(n), де T(∙n/2) - час на впорядкування половинимасиву, O(n) - час на злиття цих половинок. Враховуючи, що T(1) = O(1), розв’язком співвідношення є: T(n) = O(n∙log(n)).
4.8. Сортування підрахунком
Сортування підрахунком (англійською «Counting Sort») — алгоритм впорядкування, що застосовується при малій кількості різних елементів (ключів) у масиві даних. Час його роботи лінійно залежить як від загальної кількості елементів у масиві, так і від кількості різних елементів.
Ідея алгоритму полягає в наступному: спочатку підрахувати скільки разів кожен елемент (ключ) зустрічається в вихідному масиві. Спираючись на ці дані можна одразу вирахувати на якому місці має стояти кожен елемент, а потім за один прохід поставити всі елементи на свої місця.
В алгоритмі присутні тільки прості цикли довжини N (довжина масиву), та один цикл довжини K (величина діапазону). Отже, обчислювальна складність роботиалгоритму становить O(N + K).
В алгоритмі використовується додатковий масив. Тому алгоритм потребує E(K) додаткової пам’яті.
В такій реалізації алгоритм є стабільним. Саме ця його властивість дозволяє використовувати його як частину інших алгоритмів сортування (наприклад, сортування за розрядами). Використання даного алгоритму є доцільним тільки у випадку малих K.
Лекція 5 нелінійні структури даних
5.1. Дерева
Деревоподібні і взагалі графові структури мають дуже широке застосування. Найчастіше деревоподібні структури використовуються у наступних випадках:
а) при трансляції арифметичних виразів;
б) при формуванні таблиць символів у трансляторах;
в) у задачах синтаксичного аналізу;
г) при трансляції таблиць розв‘язків.
При роботі з деревами дуже часто використовуються рекурсивні алгоритми, тобто алгоритми, які можуть викликати самі себе. При виклику алгоритму йому передається в якості параметра вказівник на вершину дерева, яка розглядається як корінь піддерева, що росте із цієї вершини. Якщо вершина термінальна, тобто в неї немає синів, то алгоритм просто застосовується до даної вершини. Якщо ж у вершини є сини, то він рекурсивно викликається для кожного із синів. Загальні графові структури застосовують при зображенні розріджених матриць, у машинній графіці, при пошуку інформації і в інших складних задачах. Прикладом графоподібної структури є ієрархічна циклічна структура, що має рівні, аналогічно дереву або орієнтованому графу, але елементи на всякому рівні можуть бути циклічно зв'язані, як, наприклад, у ієрархічних списках. У структурах даних найчастіше використовується табличний або матричний спосіб задання графа.
Кореневим деревом називають орієнтований граф, у якого:
1) є одна особлива вершина, в яку не заходить жодне ребро і яку називають коренем дерева;
2) у всі інші вершини заходить рівно одне ребро, а виходить скільки завгодно;
3) немає циклів.
Існує ще так зване рекурсивне визначення дерева, згідно з яким дерево трактується як скінченна множина вершин Т, кожна з яких (крім кореня) належить до однієї з підмножин Т1,..., Тm ; m=>0, Тi ÇТj =0, і≠j. Підмножина Ті називається піддеревом даної вершини. Число піддерев даної вершини називають степеню цієї вершини. Вершину з нульовою степеню називають листком. Всі інші вершини називаються внутрішніми.
Рівнем або рангом вершини по відношенню до дерева називають довжину шляху від кореня до цієї вершини плюс одиниця.
Довжина шляху - це кількість дуг, які треба пройти від кореня для досягнення даної вершини.
Висота дерева дорівнює кількості рівнів у дереві.
Говорять, що кожний корінь є батьком коренів своїх піддерев. Останні є синами свого батька і братами між собою.
Дерево називають n -арним, якщо кожний його вузол має не більше n потомків. На рис.5.1 зображено 3-арне дерево.
Інший приклад деревоподібної структури дають алгебраїчні формули. На рис. 5.2 зображено дерево, що відповідає арифметичному виразу a-b(с/d +e/f) . Зв‘язок між формулами і деревами дуже важливий для побудови трансляторів арифметичних виразів.
Рис. 5.1. Приклад зображення 3-арного дерева
Рис.5.2.Приклад зображення формули у вигляді дерева