Тема 7. Лекція 10. Управління запасами.

Правильне і своєчасне визначення оптимальної стратегії керування запасами, а також нормативного рівня запасів дозволяє звільнити значні оборотні кошти, заморожені у вигляді запасів, що, у кінцевому рахунку, підвищує ефективність використовуваних ресурсів.

Визначення1. Керування запасами складається у знаходженні такої стратегії поповнення і витрати запасів, при якій функція витрат на обслуговування запасів приймає мінімальне значення.

Моделі керування запасами характеризуються такими параметрами.

Попит. Потреба в запасі. Попит на продукт, що запасається, може бути детермінованим (у найпростішому випадку - постійним у часі) чи випадковим. Випадковість попиту описується або випадковим моментом попиту, або випадковим обсягом попиту в детерміновані або випадкові моменти часу.

Поповнення складу. Поповнення складу може здійснюватися або періодично через визначені проміжки часу, або в міру вичерпання запасів, тобто зниження їх до деякого рівня.

Обсяг замовлення. При періодичному поповненні і випадковому вичерпанні запасів обсяг замовлення може залежати від того стану, що спостерігається в момент подачі замовлення. Замовлення звичайно подається на одну й ту саму величину при досягненні запасом заданого рівня – так званоїточки замовлення.

Час доставки. В ідеалізованих моделях керування запасами передбачається, що замовлене поповнення доставляється на склад миттєво. В інших моделях розглядається затримка постачань на фіксований чи випадковий інтервал часу.

Вартість постачання. Як правило, передбачається, що вартість кожного постачання складається з двох компонентів – разових витрат, що не залежать від обсягу партії, що замовляється, і витрат, що залежать від обсягу партії.

Витрати збереження. У більшості моделей керування запасами вважають обсяг складу практично необмеженим, а контролюючою величиною служить обсяг запасів, що зберігаються. При цьому вважають, що за збереження кожної одиниці запасу в одиницю часу стягується визначена плата.

Штраф за дефіцит. Будь-який склад створюється для того, щоб запобігти дефіциту певного типу виробів у системі, що обслуговується. Відсутність запасу в потрібний момент приводить до збитків, пов'язаним із простоєм устаткування, неритмічністю виробництва і т.д. Ці збитки називаються штрафом за дефіцит.

Номенклатура запасу. У найпростіших випадках передбачається, що на складі зберігається запас однотипних чи виробів однорідного продукту. У більш складних випадках розглядається номенклатурний запас.

Структура складської системи. Найбільше повно розроблені математичні моделі одиночного складу. Однак на практиці зустрічаються і більш складні структури: ієрархічні системи складів з різними періодами поповнення і часом доставки замовлень, з можливістю обміну запасами між складами одного рівня ієрархії і т.ін.

Як критерій ефективності прийнятої стратегії керування запасами виступає функція витрат, що являє собою сумарні витрати на збереження і постачання продукту, що запасається, і витрати на штрафи.

Введемо в розгляд функції:

А(t)– функцію поповнення запасів;

B(t)– функцію витрати запасів;

R(t)– функцію попиту на продукт, що запасається, за проміжок часу [0, t]. У моделях керування запасами використовуються похідні цих функцій за часом:

a(t)– інтенсивність поповнення запасів;

b(t)– інтенсивність витрати запасів;

r(t)– інтенсивність попиту запасів.

У залежності від властивостей функцій інтенсивностей a(t), b(t), r(t) моделі керування запасами класифікуються в такий спосіб.

Якщо функції інтенсивностей не є випадковими, то модель керування запасами називається детермінованою.

Якщо, хоча б одна їх їх носить випадковий характер – модель керування запасами називається стохастичною.

Якщо всі параметри моделі не міняються в часі, вона називається статичною, в іншому випадку – динамічною.

Крім того, моделі керування запасами можуть допускати дефіцит запасів або бути бездефіцитними.

Рівень запасу в момент t визначається основним рівнянням запасів

J(t) = J₀ + A(t) - B(t), (7.1)

де J₀ - початковий запас у момент часу t = 0.

Рівняння (7.1) в інтегральній формі має вид:

t t

J(t) = J₀ + ∫ a(t) dt - ∫ b(t) dt. (7.2)

0 0

Однопродуктова статична детермінована модель без дефіциту.

Припущення про те, що дефіцит не допускається, означає повне задоволення попиту на продукт, що запасається, тобто функції b(t) і r(t) збігаються.

Розглянемо деякий інтервал часу θ (наприклад рік). Загальне споживання запасів за який складає N. У найпростішому випадку передбачається, що витрата запасу відбувається безупинно з постійною інтенсивністю, тобто b(t)= b. Ця інтенсивність визначається відношенням загального споживання продукту до часу, протягом якого він витрачається:

b =	N	(7.3)
	θ

Поповнення запасу відбувається партіями однакового обсягу n через однакові відрізки часу Т. Оскільки інтенсивність витрати дорівнює b, то кожна партія буде використана за час Т

Т =	n	(7.4)
	b

Таким чиномфункціяa(t)неєбезперервною:

a(t) =		0, t ≠ iT
		n, t = iT, i =0, 1,…

Іншими словами функція інтенсивності постачання a(t) є імпульсною, тобто запас поповнюється миттєво в моменти часу кратні T.

Якщо відлік часу почати з моменту надходження першої партії, то рівень запасу в початковий момент часу дорівнює обсягу цієї партії n, тобто J(0) = n.

На часовому інтервалі [0, T] рівень запасу зменшується по прямої J(t) = n - bt від значення n до 0. Оскільки дефіцит не допускається, то в момент часу T рівень запасу миттєво поповнюється до колишнього значення n за рахунок надходження партії запасу.

Процес зміни J(t) повторюється на кожному часовому інтервалі тривалістю T. Графічно залежність рівня запасу від часу ілюструється мал. 7.1.

Мал.7.1.

Таким чином, задача керування запасами полягає у визначенні такого обсягу партії n, при якому сумарні витрати на створення і збереження запасу були б мінімальними.

Позначимо через С сумарні витрати, витрати на створення запасу – через С₁, витрати на збереження запасу – через С₂, витрати на доставку однієї партії продукту, що не залежать від обсягу партії - с₁, витрати на збереження однієї одиниці продукту в одиницю часу – с₂. Оскільки за час θ необхідно запастися N одиницями продукту, що доставляється партіями обсягу n, то число таких партій k дорівнює:

k =	N	=	θ	(7.5)
	n		T

Отже С₁ = с₁k = с₁N/n (7.6)

Миттєві витрати на збереження запасу в момент часу t рівні с₂ J(t). Тоді витрати на збереження за проміжок [0, T] складуть

Т T

с₂ ∫ J(t) dt = с₂ ∫ (n-bt) dt

0 0

або з урахуванням(7.4)

Т с2 ∫ J(t) dt = 0	с2 nТ
	2

Середній запас за проміжок [0, T] дорівнює nТ/2, тобто витрати на збереження всього запасу при лінійному часі його витрати дорівнюють витратам на збереження середнього запасу.

З урахуванням (7.5) одержуємо:

с2 =	с2 nТ	k =	с2 n θ	(7.7)
	2		2

Відзначимо, що витрати С₁ обернено пропорційні, а витрати С₂ прямо пропорційні обсягу партії n.

З огляду на, що З = З₁ + З₂ сумарні витрати визначаються функцією витрат:

С =	с1 N	+	с2 θ n	(7.8)
	n		2

Графіки залежностей С , С₁, С₂ зображені на мал. 7.2.

Мал.7.2.

В точціминимума функціїС(n)їїпохіднадорівнює0:

С’(n) = -	с1 N	+	с2 θ	= 0
	n2		2

Тоді

n =	n0 =		2с1 N	(7.9)
			с2 θ

або,з урахуванням(7.3)

	n0 =		2с1b	(7.10)
			с2

Формула (7.10) називається формулою Уїлсона чи формулою найбільш економічного обсягу партії.

Зауважимо, що добуток С₁С₂ = 0,5с₁с₂θN є величина постійна. Як відомо сума двох співмножників приймає найменше значення, коли вони рівні між собою, тобто С₁= С₂ або

	с1 N	=	с2 n θ		(7.11)
	n		2

Рівність (7.11) легко перетворити до виду (7.9).

З (7.11) випливає, що мінімум загальних витрат задачі керування запасами досягається тоді, коли витрати на створення запасу дорівнюють витратам на збереження запасу. При цьому мінімальні сумарні витрати складають

С0 = С(n0) =	2с1 N			(7.12)
	n

звідки з урахуванням(7.5) и (7.9),отримуємС₀ = √2с₁с₂θN або

С0 = θ

2с1 с1b

(7.13)

Число оптимальних партій k₀ за час θ з урахуванням (7.5), (7.9) і (7.3) дорівнює

k0 =	N	=		с2 N θ	= θ		с2 b
	n0			2с1			2с1

Час витрати оптимальної партії на підставі (7.4) з урахуванням (7.9) і (7.3) дорівнює

T0 =	n0	= n0	θ		(7.14)
	b		N

	T0 =		2с1 θ	=		2с1	(7.15)
			с2 N			с2 b

Приклад. Потреба складального підприємства в деталях деякого типу складає 120 000 деталей на рік, причому ці деталі витрачаються в процесі виробництва рівномірно і безупинно. Деталі замовляються раз на рік і постачаються партіями однакового обсягу, зазначеного в замовленні. Збереження деталі на складі коштує 0,35 гр.о. на добу, а постачання партії – 10 000 гр.о. Простоювання виробництва через відсутність деталей неприпустимо.

Визначити найбільш економічний обсяг партії й інтервал між постачаннями, які потрібно вказати в замовленні (вважається, що постачальник не допускає затримок постачань).

Рішення. За умовою витрати на одну партію складають с₁ = 10 000 гр.о., витрати на збереження одиниці запасу в добу с₂ = 0,35 гр.о. Загальний проміжок часу θ = 1 рік = 365 днів, а загальний обсяг запасу за цей період складає N = 120 000 деталей.

По формулі (7.9) визначається n₀ ≈ 4335 деталей, а по формулі (7.14) T₀ =13,2 ≈ 13 днів.

Відповідь. Найбільш економічний обсяг партії n₀ ≈ 4335 деталей.

Оптимальний інтервал часу між постачаннями T₀ ≈ 13 днів.

Однопродуктова статична детермінована модель без дефіциту з «розривами» цін.

У розглянутій задачі не враховуються питомі витрати на придбання товарів, тому що вони постійні і не впливають не рівень запасу. Однак часто ціна одиниці товару залежить від розміру закуповуваної партії. У таких випадках ціни міняються стрибкоподібно, наприклад, при наданні оптових знижок. При цьому в моделі керування запасами необхідно враховувати витрати на придбання товарних запасів.

Розглянемо однопродуктову статичну детерміновану модель без дефіциту, у якій ціна одиниці товару дорівнює ц₁ при n < q і дорівнює ц₂ при n ≥ q, причому ц₁ > ц₂ і q – розмір замовлення, при перевищенні якого надається знижка.

Сумарні витрати в одиницю часу при n < q з урахуванням (7.8) і (7.3) рівні:

S1(n) = b ц1 + b	с1	+ n	с2		(7.16)
	n		2

Сумарні витрати в одиницю часу при n ≥ q з урахуванням (7.8) і (7.3) рівні:

Sq(n) = b ц2 + b	с1	+ n	с2		(7.17)
	n		2

Мінімум функцій S₁(n) і S_q(n), відповідно до формули Уилсона, досягається в точці n₀ (7.10). З аналізу графіків функцій S₁(n) і S_q(n) (мал. 7.3) випливає, що оптимальний обсяг замовлення n* залежить від того, в якому місці відносно трьох показаних на мал.7.3 зон знаходиться точка розриву ціни q. Розташування зон визначається шляхом визначення невідомого q₁ (при відомому з (7.10) n₀) з рівняння S₁(n₀) = S_q(q₁).

Тоді зони розподіляються в такий спосіб:

Зона 1: 0 ≤ q < n₀;

Зона 2: n₀ ≤ q < q₁;

Зона 3: q ≥ q₁.

У залежності від розташування крапки розриву ціни q, оптимальний розмір замовлення визначається в такий спосіб:

n* =		n0, якщо 0 ≤ q < n0 (зона 1)
		q, якщо n0 ≤ q < q1 (зона 2)	(18)
		n0, якщо q ≥ q1 (зона 3)
Мал.7.3.

Алгоритм визначення n* можна подати в такому вигляді.

1. Визначити n₀. Якщо q < n₀ (зона 1), то рішення n* = n₀ отримане й алгоритм завершується. В іншому випадку переходимо до кроку 2.

2. Визначити q₁ з рівності S₁(n₀) = S_q(q₁) і установити, де відносно зон 2 і 3 знаходиться значення q:

а) якщо n₀ ≤ q < q₁ (зона 2), то n* = q;

б) якщо q ≥ q₁ (зона 3), тоn* =n₀.