Спосіб формування кодів.

Рядки вхідної матриці С являють собою Ni комбінацій шуканого коду. Решта комбінацій будуються за допомогою твірної матриці за наступним правилом. Корегуючі символи призначені для знаходження та виправлення помилки в інформаційній частині знаходяться шляхом сумування за модулем два, тих рядків матриці П, номери яких співпадають з номерами розрядів, які містять одиниці в інформаційному кодовому векторі. Отриману корегуючу комбінацію приписують справа до інформаційної частини коду і отримують вектор повного завадостійкого коду. Аналогічну процедуру роблять із кожною наступною інформаційною кодовою комбінацією поки не побудується корегуючий код, для передачі усіх символів первинного алфавіту. Алгоритм утворення перевіряючи символів за відомою інформаційною частиною, може бути записано на основі співвідношення:

Декодування та корекція помилок пов’язане з використанням перевірок, ідея яких в загальному випадку виглядає, як співвідношення (6).

Для кожної конкретної матриці існує оригінальна система перевірок. Перевірки виконуються за наступним правилом. У першу перевірку разом з перевірочним розрядом Р1 входять інформаційні розряди які відповідають одиницям першого стовпця перевірочної матриці П. У другу другий перевірочний розряд Р2 та інформаційні розряди які відповідають одиницям другого стовпця перевірочної матиці. Кількість перевірок = к-сті контрольних розрядів корегую чого коду тобто Nk в результаті перевірок утворюється перевірочний вектор S1 S2 S(н катий). Так званий перевірочний синдром. Якщо кількість одиниць в ньому парна, то значення синдрому = «0». Якщо вага синдрому = 0 то прийнята комбінація вважається вірною, безпомилковою. Якщо хочаб один розряд перевірочного вектору містить одиницю, то прийнята комбінація містить помилку. Виправлення помилки проходить за виглядом синдрому оскільки кожному помилковому розряду відповідає єдиний перевірочний вектор. Вигляд синдрому для кожної конкретної матрці. Може бути визначений за допомогою контрольної матриці Н, яка відповідає трансформованій матриці П доповнено одиничною матрицею І, кількість стовпців якої рівна кількості контрольних символів колу N(кате). Цю формулу можна записати у вигляді (7).

Стовпці такої матриці являють собою значення синдрому для розряду для розряду який відповідає номеру стовпця матриці Н

1000 111

С= 0100 110

0010 010

0001 011

=3 =4

Лінійні блокові коди

Їх представником є код Хеммінга. Він має простий та зручний для технічної реалізації алгоритми знаходження та виправлення помилки. Він складається з n символів, які несуть інформацію n_k контрольних надлишкових символів.

Загальна кількість символів n є сумою інформаційних та контрольних символів n=n_i+n_k.

При використанні цього коду в процесі передачі інформації може бути передача без втрат або може бути помилка через завади в системі передачі. Для виявлення та виправлення одиночної помилки співвідношення між n_i та n_k або загальною кількістю розрядів кодів має відповідати умовам (1а), (1б).

2^nk≥n+1 (1a)

2ⁿⁱ≤2ⁿ/n+1 (1б)

Для лінійних блокових кодів критерієм оптимальності може бути близькість до нижньої границі Хемінга, яка визначається виразом (2).

r – кількість помилок у коді.

Для коду Хеммінга саме досягається нижня границя Хеммінга.