Відношення часткового порядку.

Відношення на множиніназиваєтьсявідношенням часткового порядку (або частковим порядком), якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне. Множина з частковим порядкомназиваєтьсячастково впорядкованою множиною і позначається .

Приклад 11. Нехай . Відношеннязадамо як звичайне порівняння чисел:,. Неважко безпосередньо переконатись, що це відношення є частковим порядком на множині▲

Приклад 12. Нехай – множина з прикладу. Відношення задамо так:а ді­лить. Отже:.. Легко пере­ко­на­тись, що це відношення рефлексивне, антисиметричне і транзитивне і, отже, є від­но­шен­ням часткового порядку ▲

Два елементи тачастково впорядкованої множининазиваютьпорівняльними, якщо абоЯкщоа та b такі елементи, що ані , аніто вони називаютьсянепорівняльними.

Приклад 13. Елементи тамножиниз прикладунепорівняльні ▲

Якщо частково впорядкована множина, в якій будь-які два елементи порівняльні, то така множина називаєтьсятотально або лінійно впорядкованою, а частковий порядок називається тотальним або лінійним порядком. Отже, множиназ прикладу 1 є лінійно впорядкованою; множиназ прикладучастково впорядкована, але не є лінійно впорядкованою. Лінійно впорядкована множина називаєтьсяланцюгом.

Приклад 14. Нехай – множина всіх булівських векторів довжини. Визначимо частковий порядок на цій множині так: Цей частковий порядок не є лінійним порядком. Наприклад, не можна порівняти вектори (010000) та (101000) ▲

Операції над відношеннями

Оскільки відношення з множини у множинує підмножиною декартового добутку множин, то два відношення зуможуть брати участь у звичайних теоретико-множинних операціях.

Приклад 15. Нехай та. Визначимо відношеннята:

,

.

Тоді:

R₁ R₂ ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,3)}

R₁ R₂ = {(1,1)}

R₁ \ R₂ ={ (2,2), (3,3) }

\ R₁ ={ (1,2), (1,3), (1,4) }.

Розглянемо тепер операцію іншого типу – композицію відношень.

Нехай – відношення з множинив, а– відношення з множиниу множину.Композицією відношень таназивається відношення, яке складається з всеможливих упорядкованих пар, де,і для яких існує елементтакий, що;. Композицією відношеньR та позначатимемо черезS R.

Приклад 16. Знайдемо композицію відношень та, де– відношення з множинив множину:;– відношення зв множину:.

Композицію S  R будуємо, використовуючи всі впорядковані пари з та зтакі, щодругий елемент пари з збігається зпершим елементом пари з . Наприклад, паритапороджують пару. Виконуючи описані дії отримаємо:

.

Нехай R – відношення на множині . Степінь,, визначається індуктивно:

R¹=R, Rⁿ⁺¹=Rⁿ  R

Отже, зокрема

, .

Приклад 17. Нехай на множині задано відношення. Знайти.

Розв’язок. За означенням послідовно отримаємо:

Розглянемо, як виражаються операції над відношенням за допомогою матриць. Попе­ред­ньо введемо такі операції над булівськими матрицями (тобто матрицями з елементами 0 та 1).

Диз’юнкція булівських матрицьта:, де.

Кон’юнкція булівських матрицьта:

, де i=1…m, j=1…n

Булівський добуток матриць. Нехай –матриця,–матриця. Тоді булівський добуток– цематриця,, де, або, коротше,. Булівський степінь для булівcькихматриць (позначається через,– натуральне) визначається так:

Це означення є коректним, оскільки булівський добуток матриць асоціативний. За означенням покладемо , де – одинична матриця.

Позначимо через матрицю відношення. Неважко переконатись, що:

_,

,

M_SR= M_RM_S,

.

Завдання на лабораторну роботу №3.

Рівень 1

1. Задати відношень S, T на множині { a,b,c,d } з допомогою матриці.

2. Виписати впорядковані пари елементів, які зображають відношення Т, задане графом.

3. Виписати впорядковані пари елементів відношення на множині { 1,2,3,4,5 }, які відповідають матрицям P, Q, R. Рядки та стовпці відповідають числам, які розташовані у порядку зростання.

4. Зобразити орієнтовані графи для відношень P, Q, R.

Рівень 2

5. Знайти матриці, які зображають відношення

6. Визначити, які з відношень P, Q, R. є рефлексивни­ми, си­мет­ри­ч­ни­­ми, антисиметричними, асиметричними, ір­ре­фле­к­сив­ни­ми, тран­зи­тив­ними.

7. Які з відношень P, Q, R. зображають відношення ек­ві­ва­лен­тності, част­ко­во­го порядку?

Вимоги до оформлення звіту та оцінювання результатів захисту лабораторної роботи

1. На лабораторну роботу виносяться 5 задач, які наведено у таблиці для 25 варіантів.

2. Захист лабораторної роботи проводиться за наявності звіту.

3. Захист роботи виконується у встановлені терміни.

4. Звіт повинен бути оформлений на папері стандартного формату А4 (297 х 210 мм) та зшитий у зошит зліва у двох місцях.

5. Текст може бути надрукований або написаний від руки.

6. Звіт повинен містити такі розділи:

5.1. Формулювання мети та основного завдання, яке треба досягнути в результаті виконання лабораторної роботи

5.2. Короткий опис основних теоретичних положень та алгоритмів, що застосовуються для розв’язування поставлених задач.

5.3. Розв’язки задач, запропонованих для розв’язування на лабо­ра­тор­ній ро­бо­ті. Розв’язування прикладів повинні супроводжувати необхідні коментарі.

5.4. Висновок, в якому на основі отриманих в роботі результатів підтверджено, що мета лабораторної роботи досягнута.

7. Під час захисту лабораторної роботи студент повинен продемонструвати вміння розв’язувати завдання на прикладах, які розв’язано під час виконання лабораторної роботи.

8. Під час захисту лабораторної роботи викладач може запропонувати свої контрольні приклади для перевірки засвоєння матеріалу студентом.