Відношення еквівалентності.

Розглянемо відношення, які одночасно володіють декількома властивостями у потрібній комбінації. Відношення на множині називаєтьсявідношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Два елементи множини А, які зв’язані відношенням еквівалентності, називаються еквівалентними. Так можна сказати, оскільки відношення еквівалентності за означенням симетричне. Оскільки відношення еквівалнтності за означенням рефлексивне, то у будь-якому відношенні еквівалентності кожний елемент є еквівалентним до самого себе. Більше того, оскільки відношення еквівалентності за означенням транзитивне, то з того, що таеквівалентні,таеквівалентні, випливає, щотаеквівалентні.

Приклад 6. Нехай – відношення на множині цілих чисел:. Це відношення володіє властивостями рефлексивності, симетричності і транзитивності: отже, це відношення еквівалентності ▲

Приклад 7. Нехай – відношення на множинідійсних чисел: єцілим числом. Чи є відношенням еквівалентності?

Розв’язок. Оскільки єцілим для всіх дійсних чисел , тодля всіхдійсних чисел . Отже, відношеннярефлексивне. Нехай тепер. Отже,є цілим числом. Але тодітакож ціле. Таким чином,; відношеннясиметричне. Якщо, тотацілі. Але тодітакож ціле, тобто, і відношеннятранзитивне. Таким чином, вказане у прикладі відношення є відношенням еквівалентності ▲

Приклад 8. (Конгруентність за модулем ). Нехай – натуральне число,. Покaжемо, що відношенняє відношенням еквівалентності на множиніцілих чисел. За означенням ділить (). Підкреслимо, щоділиться на, оскільки. Отже,. Відношення рефлексивне. Далі,, де– ціле. Отже, тобто; відношення симетричне. Нарешті, нехай,. Це означає, що,, де,– цілі. Додамо останні дві рівності:, тобто. Отже,; відношення транзитивне. Таким чином, конгруентність за модулемє відношенням еквівалентності на множині цілих чисел ▲

З відношенням еквівалентності тісно пов’язане поняття класу еквівалентності і розбиття множини на класи. Нехай є відношенням еквівалентності на множині. Множина всіх елементів, які еквівалентні елементу, називається класом еквівалентності (елементаа). Клас еквівалентності, породжений елементом а за відношенням позначатимемо через. Якщо маємо на увазі якесь певне відношення еквівалентності, то можна використовувати позначення. Отже:. Якщо, тоназиваєтьсяпредставником цього класу еквівалентності.

Приклад 8. Які класи еквівалентності визначає відношення з прикладу 1 ? Оскільки ціле еквівалентно само собі та протилежному числу, то класи еквівалентності за цим відношенням є: ▲

Приклад 8. Які класи еквівалентності породжуються тадля відношення конгруентності за(див. приклад 3) ?

Розв’язок. Клас еквівалентності елемента 0 містить всі цілі такі, що. Цілі у цьому класі, очевидно, такі, що діляться на 4. Отже. Клас еквівалентності, породжений одиницею, містить всі цілі b такі, що . Таким чином,. Класи еквівалентності типу розглянутих у цьому прикладі називаються класами конгруентності за модулемт . Клас конгруетності за модулем т позначатимемо через . Отже,,▲

Нехай – відношення еквівалетності на множині .Важливо підкреслити, що класи еквівалентності, породжені двома елементами множини при заданому відношенні еквівалентності, або збігаються, або не перетинаються. Наступна теорема фіксує цей факт.

Теорема 9. . Нехай – відношення еквівалентності на множині .Тоді наведені твердження еквівалентні:

Доведення пропонується виконати як вправу за схемою з рис. 4 ▲

Рис.4

Відношення еквівалентності здійснює розбиття множини на класи еквівалентності. Дійсно, з теореми 1 випливає, що: ,, якщо. Нагадаємо, що розбиттям множиниА називається така система множин , де– множина індексів, що:для,при,.

Приклад 10. Відношення конгруентності за (див.приклад 5)здійснює розбиття множини цілих чисел на 4 класи:,,,▲