Національний університет ”львівська політехніка”

ІНСТИТУТ КОМП’ЮТЕРНИХ НАУК ТА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Кафедра “ІНФРОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ ТА МЕРЕЖІ”

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до лабораторної роботи

“Відношення”

з курсу “Теорія алгоритмів та представлення знань”

для студентів, що навчаються за напрямком 6.0305 “Філологія”

Затверджено на засіданні кафедри ІСМ

Протокол №___ від “___” ____________ 2012 р.

Львів - 2012

Відношення. Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Теорія алгоритмів та представлення знань”

для студентів, що навчаються за напрямком 6.0305 “Філологія”

Укл. Нікольський Ю.В. – Львів, 2012, 14 с

Укладач Нікольський Ю.В.

Відповідальний за випуск д.т.н., проф. В.Пасічник

Рецензенти к.е.н., доц. А.В.Катренко,

к.т.н., доц. Я.П.Кісь

Тема. Методи інформаційного моделювання.

Мета: Засвоєння принципів багаторівневого інформаційного моделювання предметних областей із застосуванням інфологічних та даталогічних моделей представлення даних.

Теоретичний вступ

Кортеж – це впорядкований набір елементів. Сказане не слід розглядати як означення кортежу, оскільки тоді потрібно дати пояснення з приводу його синоніма „впорядкований набір”. Поняття кортеж (синоніми – вектор, рядок, ланцюжок), вважатимемо як і поняття множини первісним, таким, що не означується. Елементи, які утворюють кортеж, називаються компонентами. Компоненти нумеруються, кількість компонент називається довжиною, або розмірністю кортежу. Нескінченні кортежі не розглядатимуться.

На відміну від елементів множини, компоненти кортежу можуть повторюватись. Кортеж записується у круглих дужках, наприклад – кортеж довжини 5. Іноді дужки і навіть коми не пишуться, наприклад. Кортежі довжини 2 часто називають парами, довжини 3 – трійками. Кортежі довжиниіноді називають-ками („енками”).

Два кортежі рівні, якщо вони мають однакову довжину і їхні відповідні компоненти рівні. Іншими словами кортежі тарівні, якщота.

Декартовим добутком множин та(позначається) називається множина всіх партаких, що. Зокрема, якщо, то обидві координати належать. Такий добуток позначається через. Аналогічно декартовим добутком множин(позначається) називається множина всіх кортежівдовжинитаких, що. Частковий випадокпозначається черезі називається-м степенем множини.

Приклад 1. Нехай . Тоді. Зрозуміло, що, взагалі кажучи,.

Для скінченних множин потужність (кількість елементів) декартового добутку дорівнює добутку потужностей цих множин: .

Відношення – одне з основних понять сучасної математики. Мова відношень використовується для опису зв’язків між об’єктами та поняттями.

Найзручніший спосіб задання зв’язку між елементами двох множин – це виписування впорядкованих пар елементів, що перебувають у цьому зв’язку.

Нехай та– множини. Бінарне відношення ізв– це деяка підмножина декартового добутку цих множин. Іншими словами, бінарне відношення ізв– це деяка множина впорядкованих пар, де перший елемент пари належить, а другий –. Ми використовуємо запис, якщо,та запис:, якщо.

Бінарні відношення описують зв’язки між елементами двох множин. Зв’язки між елементами більше ніж двох множин задаються п-арними відношеннями. Якщо п-арні відношення, то вживатимемо терміні “відношення” замість “бінарне відношення”.

Приклад 2. Нехай ,та введене відношення. Отже,, оскільки, але, оскільки▲

Здебільшого розглядаються бінарні відношення, визначені при . Відношенням на множиніназивається бінарне відношення ізв. Іншими словами, відношеннямна множиніназивається підмножина декартового квадрату множини, тобто

Приклад 3. Нехай . Які впорядковані пари утворюють відношенняділить?

Розв’язок. Очевидно, що ▲

Задати бінарне відношення на множині можна за допомогою булівської матриці або за допомогою орієнтованого графа.

Матриця, що задає відношення на множині() – цематриця,де

Вершини графа відношення на множиніпозначені елементами цієї множини, а дугаіснує тоді i тільки тоді, коли. Такий граф називається графом, асоційованим з відношенням .

На рис.1 зображені матриця і граф, які задають відношення з попереднього прикладу

Таблиця 1 34 112 1 1 1 1 2 0 1 0 1 3 0 0 1 0 4 0 0 0 1	Рис.1

Відношення на множині називається рефлексивним, якщо,.

Приклад 4. Розглянемо відношення на множині :

;

;

;

;

;

.

Які з цих відношень є рефлексивними ?

Розв’язок. Відношення та– рефлексивні, оскільки вони містять всі пари вигляду, тобто. Решта відношень не є рефлексивними. Зокрема,не містять пари▲

Відношення на множиніназиваєтьсясиметричним, якщо . У прикладі 3 лише відношеннятасиметричні.

Відношення на множиніназиваєтьсяантисиметричним, якщо . Іншими словами, відношення антисиметриче, якщо привоно не містить партаодночасно:. Лише відношенняу прикладі 3 є антисиметричними. У кожному з цих відношеньнемає таких пар елементів та(), що.

Важливо відзначити, що властивості симетричності і антисиметричності не є анта­го­ні­с­тичними. Існують відношення, які володіють обома цими властивостями. Відношення на мно­жиніА, яке одночасно симетричне і антисиметричне .

Разом з цим є від­но­шен­ня, які не володіють жодною з цих двох властивостей. Відношення на мно­жині, не є ані симетричним, ані анти­си­мет­рич­ним.

Від­но­шен­ня на множиніназиваєтьсяасиметричним, якщо . Ясно, що асиметричне відношення повинно бути і анти­си­мет­ричним. Зворотне твердження є неправильним.

Від­но­шен­ня з прикладу 3 є антисиметричним відношенням, яке не є асиметричним через те, що воно містить пару.

Приклад 5. Нехай множина співпадає з множиною натуральних чисел, тобто. Відношення “бути діль­ни­ком” є антисиметричним відношенням (але не асиметричним) ▲

Відношення на множиніназиваєтьсятранзитивним, якщо . Відношенняз прикладу 3 єтранзитивними. Для кожного з цих відношень мож­на пересвідчитись, що якщо таналежать цим відношенням, то і паритеж належать цим відношенням. Відношенняз прикладу 3 не є транзитивними, оскільки, але.

Відношення на множиніназиваєтьсяіррефлексивним (антирефлексивним), якщо ,. На­приклад, відношенняз прикладу 3 – іррефлексивні, а– не є ані ре­флек­сив­ни­ми, ані іррефлексивними.

Подивимось, як відображаються окремі властивості відношень на матрицях і графах, що задають ці відношення.

Якщо відношення рефлексивне, то на головній діагоналі мат­ри­­цістоять одиниці, якщо іррефлексивне – то нулі. Матрицясиметричного відношення симетрична.

Матриця антисиметричного відношеннямає таку властивість: як­що, то(але може бути) (див.рис.2)

Рис.2

Якщо відношення задане асоційованим графом, то можна зробити висновки про певні властивості цього відношення, а саме:

• граф рефлексивного відношення має петлю у кожній вершині;

• у графі симетричного відношення парі вершин, що знаходяться у заданому відношенні, інцидентне ребро, яка заміняє пару протилежно напрямлених дуг (тобто, граф симетричного відношення є неорієнтованим);

• граф антисиметричного відношення має лише дуги між парами вершин;

• у графі транзитивного відношення обов’язково є дуга при наявності пари дугта(див.рис.3).

Рис.3