1.6. Метод простих ітерацій (послідовних наближень) Короткі теоретичні відомості.

Для методу ітерацій задане рівняння потрібно перетворити до вигляду. Після цього для знаходження послідовних наближень використовують рекурентні формули().

Рис. 1. 19

Незалежно від вибору початкового наближення умовою збіжності такого ітераційного процесу є виконання на відрізкунерівності .

Для оцінки похибки методу можна скористатися співвідношеннями

, або .

Реалізація методу за допомогою калькулятора

1. Рівняння можна подати у вигляді ,тобто . На відрізку , тобто ітераційний процес збігається.

2. Приймемо за довільне число з відрізка , наприклад .

Знаходимо .

3. Наступні наближення.

,

,

,

,

,

.

Як бачимо, послідовні наближення збігаються, і точність знайденого розв’язку на 7-ій ітерації рівна .Продовжуючи обчислення, можна знайти розв’язок з довільною наперед заданою точністю.

Реалізація методу засобами OpenOffice

1. Запускаємо програму OpenOffice , переходимо на вільний робочий лист. Заповнюємо заголовки стовпців.

2. В комірку B2 записуємо початкове наближення: 0,5, а в комірки C2, D2 та B3 − відповідні формули для обчислень:

Комірка	Формула
C2	=COS(B2)
D2	=ABS(B2-C2)
B3	=C2

3. Використовуючи автозаповнення проводимо обчислення, доки в останній заповненій комірці стовпця C не отримаємо значення, менше за вказану похибку .

Рис. 1. 20

Для методу ітерацій точність досягається на 22-му кроці алгоритму. Наближений розв’язок рівняння отримуємо в останній заповненій комірці стовпця C.

Оформити звіт.

Індивідуальне завдання. Виконати індивідуальне завдання з [1].

Контрольні питання.

1. Запишіть умови відокремлення розв’язку рівняння на відрізку .

2. Запишіть формули обчислень методу бісекцій.

3. Запишіть формули обчислень методу ітерацій.

4. Запишіть формули обчислень методу хорд.

5. Запишіть формули обчислень методу дотичних.

6. Запишіть формули обчислень комбінованого методу (хорд і дотичних).

7. Запишіть умови застосування методу хорд.

8. Запишіть умови застосування методу дотичних.

9. Запишіть умови застосування комбінованого методу.

10. Запишіть умови застосування методу ітерацій.

Література

1. Анджейчак І.А., Федюк Є.М., Анохін В.Є., Будз І.С., Коваленко Т.Г. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Навчальний посібник. Ч 1. – Львів: В-во Національного університету “Львівська політехніка”, 2001. -100 с.

2. Фролов Г. Ц., Кузнєцов Е. І. Елементи інформатики. - М. :Вища школа,1989.-304с.

3. Основи комп’ютерної грамотності /Є. І. Машбіц, Л. П. Бабенко, Л.В.Верник та ін.;під ред. А. А. Стогнія. -К. :Вища школа, 1988. - 215с.

4. Дайбегов Д. М., Черноусов Є. А. Основи алгоритмізації і алгоритмічні мови. - М. Статистика, 1979 р. -376с.

30