5. Метод включення і виключення

Для будь-яких скінченних множин та виконується рівність .

У випадку трьох множин також легко довести рівність:

Ці рівності є частковими випадками принципу включення-виключення.

Приклад 5.1. Скільки чисел серед 1,2,3,…,99,100 таких, що не діляться на жодне з чисел 2,3,5?

Підрахуємо спочатку кількість чисел, які діляться принаймні на одне з чисел 2,3,5. Нехай – множина тих чисел, які діляться на 2, – множина тих чисел, які діляться на 3, – множина тих чисел, які діляться на 5. Тоді

_{,, ,}

_{, , , .}

_{Тому, використавши формулу обчислення потужності для об’єднання трьох множин, маємо:}

_{Отже, кількість чисел, які не діляться на жодне з чисел 2,3,5, дорівнює 100-74=26. }

ТЕОРЕМА 5.1. _{Для довільних множин} A_{k, k=1..n виконується:}

Приклад 5.2. Розглядаються всі перестановки n чисел 1,2,…,n. Знайти число D_n тих перестановок, у яких принаймні одне число стоїть на місці зі своїм номером.

Позначимо через A_k множину тих перестановок, у яких на k-му місці стоїть k. Тоді

_.

Множинамістить ті перестановки, у яких на місцяхвідповідно стоять числа, а на іншихn-k місцях числа впорядковані довільно. Тому

,

a

.

З теореми 5.1. випливає, що

_

_{Принцип включення-виключення в альтернативній формі}

_{Ця форма принципу включення-виключення використовується для розв’язування задач, де необхідно знайти кількість елементів заданої множини А, які не мають жодної з n властивостей}

Позначимо:

–підмножина елементів, що мають властивість ;

–кількість елементів множини А, які одночасно мають властивості ;

–кількість елементів множини А, що не мають жодної властивості ;

N – кількість елементів множини А.

Тоді

За принципом включення-виключення отримаємо:

6. Доведення рівностей з множинами

Доводити рівності з множинами можна різними способами.

Спосіб 1. Для доведення рівності використовується теорема про те, що дві множи­ни А та В рівні тоді й лише тоді, коли та.

Приклад 6.1. Доведемо рівність множин, яка є формулюванням закону де Моргана .

Припустимо, що . Тоді , звідси або. Отже або, а це означає, що. Отже, доведено, що.

Навпаки, нехай . Тоді або, звідки або. Це означає, що, тобто . Отже._

Cпосіб 2. Доведення рівності множин із використанням таблиць належності. У цих таблицях розглядають усі можливі комбінації належності елементів множинам і позначають 1, якщо елемент належить множині, 0 – якщо елемент їй не належить.

Приклад 6.2. Доведемо цим способом рівність . Доведення подано у табл. 6.1.

Таблиця 6.1

А	В
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Стовпчики, які в табл. 6.1 відповідають множинам та збіглися, отже ._

Спосіб 3. Доведення рівності множин з використанням законів логіки.

Приклад 6.3. Доведемо попередню рівність .

Доведення поля­гає в послідовній перевірці наступних рівностей

._

Спосіб 4. Доведення рівності множин із використанням основ­них законів (табл. 3.1).

Приклад 6.4. Доведемо, що . Вико­ристовуючи закони де Моргана та комутативності, можна записати:

– за законом де Моргана;

– за законом де Моргана;

– за законом комутативності;

= – за законом комутативності. _