Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет водного хозяйства и природопользования

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА

.pdf

Скачиваний:

107

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

cos x =1−

±... ;

−

−∞ x ∞ .

cos

=1−

x 2

−

±... ;

x 2

∫

x cos

x dx =

x 1−

−

±... dx=

x2−

−

±... dx=

∫

2! 4! 6!

−

6 6! −...

120

4 2!

5 4!

3 8

−

±...≈

−

40−15 1

≈0,217 .

120

4320

120

П.3 Розв'язування диференціальних рівнянь

Розглянемо інтегрування з допомогою степеневих рядів

диференціальних	рівнянь			виду		y'= f x , y з				початковою
умовою y x0 =y0 .
Припустимо, що розв'язок					y=y x			такого рівняння існує і в
околі точки x0	може бути представлений у вигляді степеневого
ряду:
		y' x		0				y ' ' x0		2
y x =y x0					x− x0				x−x 0
y x =y x0					x− x0			2!	x−x 0
	1!							2!
			y ' ' ' x 0			x −x		3 ...
						x −x	0	3 ...
	3!						0
	3!

З початкової умови	y x0 відомо. З диференціального
рівняння знаходимо:

y' x0 = f x 0 ; y x0 .

Потім беремо похідну від обох частин рівняння		по	х ,
вважаючи у функцією від х:
y' ' x = f 'x x ; y f 'y x ; y y' .
Підставляємо сюди	x= x0 ; y=y x0 ; y '=y ' x 0	і знаходи
мо y' ' x0 .

Знаходимо третю похідну y ' ' ' x0 і т.д.

Потім одержані значення підставляємо у формулу

(1).Аналогічно розв'язуються диференціальні рівняння вищих порядків.

Приклад 27.

Знайти три перших відмінних від нуля члени розкладу в степеневий ряд розв'язку диференціального рівняння

y'= x2 y ey 2 x ; y 0 =0.

Розв'язок рівняння шукаємо у вигляді степеневого ряду

y x =y x0	y ' 0	x	y'	' 0	x2	y ' ' ' 0	x3 ...
				2!
1!					3!
З початкової умови y 0 =0 .
З диференціального рівняння				y ' 0 =0 e0 2 0=1.

y ' ' x =2 x y x2 y' ey y ' 2 ; y' ' 0 =2 0 0 1 e0 1 2=3 ;

y' ' ' x =2 y 2 x y ' 2 x y' x2 y ' ' ey y ' y' ey y' ' ;

y ' ' ' 0 =2 0 2 0 2 0 0 3 e0 1 1 e0 3=4 ;

Підставляємо в ряд. Одержимо

y x ≈0 11! x 23! x2 34! x3 ;

або після спрощення: y x ≈x 23 x2 23 x3 .

2.5 Навчальний та тренінговий варіанти для підготовки до змістового модуля № 1

Змістовий модуль №1 “ Ряди” (40 б. : 20 б. осн + 20 б. заох.)

Варіант № 9 (навчальний) Тема 1.Числові ряди (6 б.)

1. Дослідити на збіжність числовий ряд, користуючись ознакою Даламбера (2 б.):

∑∞ 2n .

n =1 n!

2. Дослідити на збіжність числовий ряд, користуючись інтегральною ознакою Коші (2 б.):

∞	1
n∑=1	1	.

	n 1 ln n 1

3. З допомогою ознаки Лейбніца дослідити на збіжність знако переміжний ряд. Якщо ряд збіжний, встановити характер збіжності (абсолютна чи умовна) (2 б.) :

∞	−1	n−1
∑			.

n =1	n!

Тема 2. Степеневі ряди та їх застосування (9 б.)

4. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду (3 б.):

∞	n	n
∑	3 x		;
∑	2		;
n =1	n 1
			1
5. Обчислити визначений інтеграл			∫x2 cos	x	dx	з
			0

точністю до 0,001 (3 б.)

6. Знайти три перші, відмінні від нуля, члени розкладу в степеневий ряд розв'язку диференціального рівняння при заданій початковій умові (3 б):

y '= x2 y ey 2 x ;	y 0 =0.
Теоретичне питання (5 б.):
Розклад в степеневий ряд функцій	sin x і cos x .

Зауваження. Всі приклади навчального модуля розв'яза но вище (№№ 7, 14, 18, 19, 23, 24).

Варіант № 10 (тренінговий)

Тема 1. Числові ряди (6 б.)

1. Дослідити на збіжність числовий ряд, користуючись ознакою Даламбера (2 б.):

∞		2		3
∑		n		3	. Відп. Зб.
∑			n		. Відп. Зб.
n =1		9
2. Дослідити на збіжність числовий ряд, користуючись інтеграль
ною ознакою Коші (2 б.):
∞			1
∑			1			. Відп. Зб.

	2
n =1 n		2 n 2

∞ −1 n 1

∑n =1 n 1 5 . Відп. Зб. абс.

Тема 2. Степеневі ряди та їх застосування (9 б.)

4. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду (3 б.):

∞	x −6 n
∑				. Відп. (3;15)
∑	n 1	2	n	. Відп. (3;15)
n=0	n 1		9

5. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001 (3 б.):

∫cos x2 dx. Відп. 0,905.

6. Знайти три перші, відмінні від нуля, члени розкладу в степеневий ряд розв'язку диференціального рівняння при заданій початковій умові (3 б.):

			7	2
y'=e5 x x 2 2 xy ;	y 0 =1. Відп.	y=1 x		x	.
y'=e5 x x 2 2 xy ;	y 0 =1. Відп.	y=1 x	2	x	.
			2

Теоретичне питання (5 б.):

Розклад в степеневий ряд функції arctg x .

2.6 Варіанти індивідуальних завдань на тему “Ряди”

(30 варіантів)

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів .

1.a)

2.a)

3.a)

4.a)

5.a)

6.a)

7.a)

∞ 7n

∑ n3 ;

n =1

∞					n
n∑=1	5							;
n∑=1	n 1 !							;
∞		2
∑	n		;
∑	n		;
n =1	4
∞			3		n
∑			3				;
∑	2 n 1						;
n =1	2 n 1
∞						n
∑	0,4						;
∑			n				;
n =1			n
∞	4	n			2 n 3
∑	4				2 n 3				;
∑	2 n 1 !								;
n =1	2 n 1 !
∞	2 n			−n1
∑							;
∑
n =1	2

б)

∞

n∑=1

;

n 1 ln n 1

∞

∑

;

n=2

n ln

∞

∑

;

3 n

n =1

∞

∑

;

n =1

3 n−2

∞

2 n 1

∑

;

n n 1

n =1

∞

∑

;

n =1

n 9

∞

∑

;

3 n−2

n =1

∞

n 2 !

∑

;

n =1

∞

∑

;

n =1

∞

n −1

10.

∑

;

n 1

n =1

∞

n 3

11.

∑

;

n =1

∞

2n−1 !

12.

∑

;

n =1

2n 1 3

∞

13.

∑

n 2

;

n 1

n =1

∞

14.

∑

;

2 n −1

n =1

n 2

∞

n−1 3

15.

∑

;

n =1

∞

16.

∑ 95 ;

n =1

∞

б)

∑

;

−1

n =1

2 n

∞

б)

∑

;

n 2 ln

n =1

n 2

∞

б)

∑

;

n =1

2 n 2

∞

2 n 3

б)

∑

;

n =1

n 3 n

∞

б)

∑

;

3 n−2

n =1

∞

б)

∑

;

n ln

n=2

∞

б)

∑

;

n =1

∞

б)

∑

;

n =1

∞

б) ∑

;

n =1 n 1 ln

n 1

∞

17.

∑

;

n 2

n =1

∞

18.

∑

;

n =1

∞

19.

∑

;

n =1

6 n 1

∞

0,5

20.

∑

;

n =1

∞

2 n 1

21.

∑

;

n =1

3 n 2 !

∞

4 n 1

22.

∑

;

n =1

∞

n 2 !

23.

∑

;

n =1

∞

24.

∑

;

n =1

∞

n −1

25.

∑

;

n 6

n =1

б)

∞

∑

;

n=2

n ln

∞

∑

;

n =1

∞

∑

;

n =1

8 n 1

∞

∑

4 n 1

;

n =1

n n

∞

∑

;

n =1

∞

∑

;

n =1

3 n−2

∞

∑

;

n =1

4 n 9

∞

;

n∑=1 n 5 ln5

n 5

∞

∑

;

n =1

10 n 29

∞

2 n 8

26.

∑

;

б)

∑

;

n =1

n 8 n

∞

3 n !

∞

27.

∑

;

б)

∑

;

4 n 1 5

7 n 3

n =1

∞

28.

∑

n 8

;

б)

∑

;

n 1

n =1

n=2

n ln

∞

29.

∑

;

б)

∑

;

n3 5n−1

n2 25

n =1

∞

n 2 4

∞

30.

∑

;

б)

∑

;

n =1

Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно.

∞

−1

n−1

∞

−1

n−1

∑

;

16.

∑

;

2 n−1

4 n 7

n =1

∞

n 1

∞

n 1

∑

−1

;

17.

∑

−1

;

n =1

n 2

n =1

n 8

∞

−1 n 1

∞

−1 n 1

∑

;

18.

∑

;

n =1

∞

−1

n−1

∑

;

n =1

2 n 1

∞

−1

n−1

∑

;

n =1

n 4

∞

n 1

∑

−1

;

n =1

n 4

∞

−1 n

∑

;

n=2 n ln

∞−1 n

8.∑n =1 n 1 3 ;

∞−1 n−1

9.∑n =1 2 n−1 2 ;

∞ −1 n

10. ∑ ;

n =1 n 2

∞−1 n−1

11.∑ 3 n−1n =1

∞ −1 n−1

12. ∑

n =1 n2

;

∞

−1

n−1

19.

∑

;

n =1 5 n 4

∞

−1

n−1

20.

∑

;

n =1

2 n

∞

−1 n 1

21.

∑

;

n =1

∞

−1 n

22.

∑

;

n ln

n=2

∞−1 n

23.∑n =1 n 2 5 ;

∞−1 n−1

24.∑n =1 8 n 1 2 ;

∞ −1 n

25. ∑ ;

n =1 n 9

∞ −1 n−1

26. ∑ ; n =1 6 n 1

∞ −1 n−1

27. ∑ ;

n =1 n4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.02.201633.95 Кб6БЖД.docx
#
12.02.201637.41 Кб23БЖД.docx
#
01.04.2025181.76 Кб0БЖД2.doc
#
01.04.2025280.58 Кб0Билеты1-34.doc
#
01.07.2025117.37 Кб0Боевое расписани1.docx
#
12.02.20161.45 Mб107Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА.pdf
#
12.02.20161.64 Mб134Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА.pdf
#
19.12.2018822.27 Кб225Буд.конструкції.doc
#
01.03.2025694.41 Кб1Будівельні конструкції екзамен білети.docx
#
01.07.202528.64 Кб0БУДЬТЕ ПИЛЬНИМИ НА ВОДІ.docx
#
12.02.2016550.34 Кб49Буклет Менеджмент.pdf