Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет водного хозяйства и природопользования

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА

.pdf

Скачиваний:

107

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 254 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Абсолютна величина загальний член ряду	u		=	1	;
		n
				n!

Знакопереміжний ряд задовільняє умовам ознаки Лейбніца:

1) u	u	u	... ; 2)	lim u	=lim	1	=0.
1) u	u	u	... ; 2)	lim u	=lim		=0.
1	2	3		n	n ∞ n!
				n ∞	n ∞ n!
							∞	1
Отже ряд збіжний. Ряд з абсолютних величин ∑								1	за
Отже ряд збіжний. Ряд з абсолютних величин ∑								n!	за
							n =1	n!

ознакою Даламбера збіжний (доведіть це самостійно). Це означає, що знакопереміжний ряд збіжний абсолютно.

Сума ряду може бути знайдена з вказаною точністю, наприклад, так:


S =	1	−		1		1	−		1		1	...=1−	1	1 −			1	1	...≈
S =	1!	−				3!	−		4!		5!	...=1−	2	1 −			24	120	...≈
	1!		2!			3!			4!		5!		2		6		24	120
≈1−			1		1	−		1		= 24−12 4−1=					15	=0,625≈0,62 .
≈1−			1		6	−	24			= 24−12 4−1=					24	=0,625≈0,62 .
			2		6		24					24			24

§ 2. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності. Основні властивості степеневих рядів

П.1 Поняття про функціональний ряд і область його збіж ності

Якщо члени ряда є не числами, а функціями , то такий ряд називається функціональним. Будемо розглядати функціональні ряди виду:

∞
∑un x	(1)

n =1

Якщо надавати змінній х різні числові значення, то з функціональ ного ряду (1) будемо одержувати різні числові ряди, серед яких можуть бути як збіжні так і розбіжні.

Сукупність значень х , при яких функціональний ряд збіжний, називається областю його збіжності. В області збіжності функ ціонального ряду його сума S є функцією від х. В області збіжності суму ряду можна замінити частинною сумою ряду з будьякою точністю, що й роблять на практиці.

П.2 Степеневі ряди. Теорема Абеля

Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

	∞
a0 a1 x a2 x2 ... an x n ...=∑ an xn		(2)
	n=0
(де a0, a1, ... , an ...	деякі числа, які називаються коефіцієн
тами ряду), а також ряд більш загального виду
	∞
a0 a1 x−x0 a2 x−x0 2 ... an x−x0 n ...=∑ an x−x0 n ,		(3)
	n=0
де x0 =const.
Про ряд (2) кажуть, що цей ряд записаний по степеням х, а про
ряд (3) по степеням	x− x0 .

Якщо позначити x− x0=y , то ряд (3) буде записано по

степеням у, тобто мати такий самий вид, як і ряд (2).

Тому надалі, якщо окремо не оговорено, під степеневим рядом будемо розуміти ряд (2). Степеневий ряд збіжний принаймні в


одній точці		х=0 . Для дослідження збіжності степеневих рядів
використовують теорему Абеля, яка складається з двох частин:
1)	Якщо степеневий ряд збіжний при деякому значенні х0 ,		то
він абсолютно збіжний для всіх x x0 .
2)	Якщо степеневий ряд розбіжний при деякому значенні		х1
, то він розбіжний для всіх x x1 .

П.3 Інтервал збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності

З теореми Абеля випливає, що існує таке невід'ємне число R, що

при	x R	степеневий	ряд абсолютно	збіжний, а при
x R	ряд розбіжний.
Отже	інтервалом збіжності степеневого ряду			є інтервал виду
−R ;R з центром в початку координат.
Число	R ,	рівне половині	довжини інтервалу збіжності

степеневого ряду, називається радіусом збіжності.

У внутрішніх точках інтервалу збіжності степеневий ряд абсолютно збіжний. У всіх зовнішніх точках він розбіжний. Про поведінку на кінцях інтервалу можна зробити висновок лише після додаткового дослідження.

П.4 Знаходження інтервалу збіжності степеневого ряду у найпростіших випадках

У найпростіших випадках (після застосування ознаки Даламбера і радикальної ознаки Коші) радіус збіжності степеневого ряду

знаходять за формулами:

	an		R=lim	1	.
			R=lim		.
R=nlim∞ an 1 ;		(4)	n ∞ n an			(5)

Зауваження. Використання цих формул носить обмежений характер, так як вказані границі не завжди існують. Тому при знаходженні інтервалу збіжності степеневого ряду рекомендується застосовувати ознаки Даламбера і Коші безпосередньо.

Приклади. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.

∞

Приклад 22 .

∑

3 x

;

an=

;

n =1

n 1

3n 1

3n 3

an 1=

;

n 1 2 1

n2 2 n 2

2 n 2

R=nlim∞

an 1 =nlim∞

n2 1

3n 3

=1 lim 1 2/ n 2/ n2

= 1 ;

3 n ∞

1 1/n2

Відповідь.

x −1/3 ;1/3 .

∞

x−4 n

Приклад 23 .

∑

;

n 7

n=0

Складемо ряд з абсолютних величин членів даного ряду і зафіксуємо х:

∞ x −4 n		∞ x−4 n
n∑=0		=n∑=0		;
	n 7n		n 7n

До одержаного додатного ряда застосуємо ознаку Даламбера:

un=	x−4 n	;	un 1=	x−4 n 1	x−4 n x−4		;
					=
	n 7n			n 1 7n 1		n 1 7n 7

un 1

x−4 n x−4 n 7n

x−4

lim

=lim

lim

n ∞

un n ∞

n 1 7n 7

x −4

n ∞

= x−4

lim

x−4

;

n ∞ 1 1/n

Згідно з ознакою Даламбера ряд буде збіжним, якщо

n = n 1

x −4 1 ;	x −4 7 ;	−7 x−4 7 ;	−3 x 11.
7
Відповідь.	x −3 ;11	.

Приклад 24. Знайти область збіжності степеневого ряду:

∞

n 1

∑

; an=

;

an 1=

2 2

;

n 1 1

n=0 n 1

n 1

n 2

R=lim

=lim

n 2

lim

1 2 /n

;

n ∞

an 1

n ∞ n 1 2n 2

2 n ∞ 1 1/ n 2

Інтервал збіжності

x −1/2 ;1/2

Щоб знайти область збіжності, дослідимо збіжність на кінцях інтервалу збіжності.

∞

x=1 /2 :

∑

1/2

=∑

;

n 1

n=0

За інтегральною ознакою Коші:

∞

f x =

;

∫ f x dx=lim ∫

=lim ln x 1 0b =

x 1

b ∞ 0

b ∞

=lim ln b 1 −ln 1=∞;

b ∞

Інтеграл розбіжний, ряд розбіжний.

∞

−1

x=−1/2 :

∑

2 −1/2

=∑

;

n 1

n=0

n 1

n =0

Це знакопереміжний ряд Лейбніца, збіжний. Збіжність умовна. Область збіжності степеневого ряду x [1/2; 1/2)

П.5 Основні властивості степеневих рядів

Нехай дано два степеневі ряди:

		∞			∞
		∑ an xn ;			∑ bn xn
		n=0			n=0
з	радіусами збіжності		Ra і	Rb	. Тоді	радіус	збіжності
степеневого ряду, одержаного шляхом їх почленного додавання
	∞				∞
	∑ an bn x n	або віднімання			∑ an −bn x n		в гіршому
	n=0				n=0
випадку R=min Ra ; Rb .
У	внутрішніх точках		інтервалу	збіжності		R≠0 , сума
S x степеневого		ряду	є неперервна		функція, отже		степеневі
ряди можна диференціювати або інтегрувати.

Ряд, одержаний почленним диференціюванням або інтегруванням має той же радіус збіжності. Але збіжність на кінцях інтервалу збіжності може змінитись (в гіршу сторону при диференціюванні і в кращу при інтегруванні.

§ 3. Ряди Тейлора і Маклорена. Необхідна і достатня умови розкладу функції в ряд Тейлора. Таблиця стандартних розкладів деяких елементарних функцій в степеневі ряди

П.1 Формули Тейлора і Маклорена для довільних функцій

Нехай функція

f x

диференційована

n 1

разів в

точці

x=a . Формула Тейлора для такої функції має вид:

f ' a

f ' ' a

f n a

, (1)

f x = f a

x−a

x−a ...

x−a

в ній Rn

залишковий член, який Лагранж запропонував

записувати у такій формі:

f n 1 c

n 1

Rn=

x−a

(2)

n 1 !

де точка с лежить між

a і

х .

Якщо у формулах (1), (2) прийняти

a=0

одержимо

формулу Маклорена для довільної функції:

f ' a

f ' ' 0

n 0

(3)

f x = f 0

...

f n 1 c

n 1

в ній залишковий член:

(4)

n 1 !

де точка

с лежить між 0 і

х .

П.2 Ряди Тейлора і Маклорена. Необхідна і достатня умови розкладу функції в ряд Тейлора

Рядом Тейлора

для

функції

f x

яка

визначена

нескінченно

диференційована в околі точки x=a

називається

степеневий ряд:

f ' a

f ' ' a

f n a

(5)

f a

x−a

x−a ...

Якщо прийняти у цій формулі

a=0,

одержимо ряд Маклорена:

f ' a

f ' ' 0

f n 0

(6)

f x = f 0

...

Теорема (необхідна і достатня умови розкладу функції в ряд Тейлора)

Для того, щоб функцію			f x		можна було розкласти в ряд
Тейлора в околі точки a
	f ' a		f ' ' a		2	f n a		n	(7)
f x = f a		x−a		x−a ...			x−a ...
	1!		2!			n!
необхідно і достатньо, щоб функція					f x	мала		в околі точки
a похідні всіх порядків і щоб залишковий член								Rn в формулі
Тейлора (1) прямував до нуля для всіх х з цього околу.

П.3 Таблиця стандартних розкладів деяких елементарних функцій в степеневі ряди

1. ex=1	x		x2		x3	... ;

1!		2!		3!

2. sh x= x x3 x5 x7 ... ;

1! 3! 5! 7!

3. ch x=1 x2 x4 x6 ... ; 2! 4! 6!

4. sin x= x − x3 x5 − x7 ±... ; 1! 3! 5! 7!

5. cos x=1− x2 x4 − x6 ±...; 2! 4! 6!

ln 1 x =x−

−

±... ;

arctg x=x−

−

... ;

m m−1

1 x =1

−∞ x ∞ .

−1 x≤1 .

−1≤x≤1 .

m m−1 m−2 x3 ... ;

	Останній розклад вірний : при		m≥0 , якщо −1≤x≤1 ;
при	−1 m 0 , якщо	−1 x≤1	;
при	m≤−1 , якщо	−1 x 1 .

§ 4. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень (обчислення значень функцій; обчислення визначених інтегралів; розв'язування диференціальних рівнянь)

П.1 Наближене обчислення значень функцій

Приклад 25. Обчислити

1/ 5

з точністю до 0,001.

Застосуємо розклад:

x 2

... ;

−∞ x ∞ .

Покладемо

1/ 5

=e−1 / 5=1 −1/5

−1/5 2

−1/5 3 −1/5 4

...=

=1−

−

...=1− 1

−

54 4!

750

5 1! 52 2! 53 3!

...≈1− 1

−

≈1−0,2 0,02−0,0013=

750

15000

=0,8187≈0,819 .

П.2 Обчислення визначених інтегралів

З допомогою стандартних розкладів підінтегральна функція розкладається в степеневий ряд, проводиться інтегрування і обчислення суми одержаного ряду з потрібною точністю.

Приклад 26. Обчислити ∫x2 cos x dx з точністю до 0,001.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 254 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202524.39 Mб0Бетонні і залізобетонні греблі на секльній осн...doc
#
12.02.201633.95 Кб6БЖД.docx
#
12.02.201637.41 Кб23БЖД.docx
#
01.04.2025181.76 Кб0БЖД2.doc
#
01.04.2025280.58 Кб0Билеты1-34.doc
#
12.02.20161.45 Mб107Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА.pdf
#
12.02.20161.64 Mб134Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА.pdf
#
19.12.2018822.27 Кб211Буд.конструкції.doc
#
01.03.2025694.41 Кб1Будівельні конструкції екзамен білети.docx
#
12.02.2016550.34 Кб49Буклет Менеджмент.pdf
#
01.05.2025433.75 Кб0бух обл.docx