Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет водного хозяйства и природопользования

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА

.pdf

Скачиваний:

107

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

∞

Приклад 8.

∑

un=

n =1

1 3

n 1 n 1

n 1 n n 1

n 1

n 1 2 1 3n 1

n2 2 n 3 3n 3

lim

un 1

=lim

n 1 n n 1

n2 1 3n

n ∞

n ∞ n2 2 n 3 3n 3

n 1

n2 1

= lim

n 1 =

3 n ∞

n2 2 n 3

1 lim 1 1/ n n lim

1 1/ n2

lim n 1 =

1 e 1∞=∞.

n ∞

n ∞ 1 2 /n 3/ n2

n ∞

Ряд розбіжний.

Зауваження. При розв'язанні використана друга визначна границя:

lim		1 1	n=e	, де		e≈2,718281828459045 ...≈2,72 .
n ∞		n
			∞	2n n!			2n n!
Приклад 9.			∑			. un=		n	.
				n	n		n
			n =1
u	n 1	= 2n 1 n 1 != 2n 2 n! n 1 = 2 2n n! .
		n 1 n 1				n 1 n n 1			n 1 n

lim

n ∞

un 1

=lim	2 2n n! nn			=2 lim		nn
							=

n ∞ n 1 n 2n n!					n ∞ n 1 n
=2 lim		1	= 2		1 .
		1 1/n n
	n ∞			e

Ряд збіжний.

∞

Приклад 10.

∑

n =1

n 4

;

n2 4

n2 2 n 5

n 1

n 1 2 4

lim

un 1

=lim

n2 4

=lim

1 4/ n2

=1 .

n ∞

n ∞ n2 2 n 5

n ∞ 1 2/ n 5/n

Ознака не працює.

Радикальна ознака Коші (в граничній формі)

lim n

=l .

Нехай існує

Тоді: при l 1

ряд з додатними

n ∞

членами

збіжний;

при

l 1

ряд

розбіжний;

при

l=1

ознака не працює.

Приклади. Дослідити на збіжність ряди за радикальною ознакою Коші:

∞	n		n
Приклад 11. ∑	3	.	un= 3n ;
	n
n =1	n		n

Ряд збіжний.

lim un=lim

n =lim

=0 1 .

n ∞

n ∞ n

∞

n 1

n 2

n 1

Приклад 12.

n∑=1

un=

;

n n 1 1

n 1 1

lim

=lim

lim

n ∞

2 n ∞

=e2 1 .

Ряд розбіжний.

∞

n 1

Приклад 13.

n∑=1 n 3

un=

;

n 3

n n 1

n 1

1 1/n

lim

=lim

=1 .

n 3

n ∞

n ∞ n 3

n ∞ 1 3/n

Ознака не працює.

Інтегральна ознака Коші

Якщо функція

f x

визначена при всіх x≥1 , така, що

f n =un

n=1,... , ∞

, невід'ємна і спадна, то ряд

∞

∑un =∑ f n

n =1

n=1

збіжний тоді і лише тоді, коли збіжним є невласний інтеграл

∞

∫ f x dx .

Приклади. Дослідити на збіжність ряди за інтегральною ознакою Коші:

∞

Приклад 14.

∑

un=

;

n 1 ln n 1

n =1

n 1 ln n 1

f x =

;

x 1 ln x 1

∞ f x dx= ∞

=lim

d ln x 1 =

∫

ln x 1

1 x 1 ln x 1

b ∞ 1

=lim ln ln x 1 b =lim ln ln b 1 −ln ln 2=∞ .

b ∞

Інтеграл розбіжний, ряд розбіжний.

∞

Приклад 15.

∑

un=

;

f x =

;

n =1

n 4

x 4

∞

d x

=lim 1 arctg

∫ f x dx=∫

=lim ∫

x 4 b ∞ 1

x 2

b ∞ 2

= 1 lim arctg b −

1 arctg

1 =

− 1 arctg

1 .

2 b ∞

інтеграл збіжний, ряд збіжний.

b ∞ 1

		∞	3			3
Приклад 16 (приклад 2) ∑			3	.	un=	3	;
Приклад 16 (приклад 2) ∑				.	un=	n 5	;
		n =1	n 5			n 5
f x =	3	;
f x =	n 5	;
	n 5

∞

∫ f x

∞

dx=∫ 3 dx

1 x 5

=3 lim

=lim ∫ 3 d x =lim 3 ln x 5 b = x 5 b ∞ 1

ln b 5 −3 ln 6=∞ .

b ∞

Інтеграл розбіжний, ряд розбіжний.

∞

Приклад 17 (приклад 3).

∑

un=

;

f x =

;

n =1

∞

2x =−lim 1

∫ f x dx=∫ dx2 =lim ∫ d

1b=− lim 1

1=1 .

1 x b ∞ 1 x

b ∞ x

b ∞ b

Інтеграл збіжний, ряд збіжний.

Диференціальна ознака збіжності числових рядів

Ця ознака розроблена професором кафедри вищої математики НУВГП Слюсарчуком В.Ю. [ 5 ].

Нехай	an — послідовність додатних	чисел і	f x —
монотонно спадна і неперервно диференційована на			[ m,+∞
функція	(m — натуральне число), для яких	f n =an	для всіх
n≥m .

Розглянемо числовий ряд

			∞
			∑ an		(4)
і функції			n= 1
і функції
	S		x =−x	f ' x	,
	S	1	x =−x	f x	,
		1

	S2 x = S1 x −1 ln x,
	S3 x = S2 x −1 lnln x,
	S4 x = S3 x −1 lnlnln x,
			.
Якщо для деякого натурального числа p існує границя
			S p x =s p ,
то у випадку s p 1	ряд (3) збігається, а у випадку s p 1 —

розбігається.

Дослідимо збіжність декількох рядів за допомогою цієї ознаки.

∞

Приклад 17 a.

∑

un=

;

f x =

;

n =1 n

f ' x

−2 x / x 4

S1 x =−x

=−x

1/ x2

=2 1,

f x

ряд збіжний.

∞

Приклад 18.

∑

un=

;

f x =

;

n =1

=−x −1/ x 2

= 1 1,

x =−x

f ' x

f x

1/ x

ряд розбіжний.

∞

Приклад 15 a.

∑

un=

;

f x =

;

n =1

n 4

x 4

f ' x

−2 x / x2 4 2

2 x 2

S1 x =−x

=−x

f x

1/ x2 4

x2 4

2 x2

lim S

x =lim

=lim

=2 1 ,

x ∞

n ∞ x 2 4

n ∞ 1 4 / x2

ряд збіжний.

∞

Приклад19. ∑

un=

;

f x =

;

n =1 n2 2

n2 2

x 2 2

−2 x x 2 2 −4 /3

x =−x

f ' x

=−x

= 2

x2 2 −1

x2 2

f x

lim S

1 x =

lim

1 ,

x ∞

3 n ∞ x2 2

3 n ∞ 1 2 /x 2

ряд розбіжний.

П.3 Знакозмінні

ряди.

Абсолютно

і умовно

збіжні

ряди.

Теорема про збіжність абсолютно збіжного ряду

Означення. Ряд

∞
∑un ,	(5)

n=1

який містить нескінченну множину як додатних так і від'ємних членів, називається знакозмінним.

Одночасно з рядом (1) розглянемо ряд з абсолютних величин

його членів:

∞	n
∑	n
u		,	(6)

n=1

Знакозмінний ряд (5) називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є ряд (6), складений з абсолютних величин його членів.

Знакозмінний ряд (5) називається умовно збіжним, якщо він збіжний, а ряд (6), складений з абсолютних величин його членів, розбіжний.

Теорема про збіжність абсолютно збіжного ряду

Якщо ряд (6), складений з абсолютних величин знакозмінного ряду (5) збіжний, то і даний знакозмінний ряд теж збіжний.

Зауваження

1.Розглянута ознака є тільки достатньою. Існують ряди, які збіжні, хоча ця ознака не виконана (умовно збіжні ряди).

2.Якщо ряд збіжний абсолютно, то він залишається абсолютно збіжним при будьякій перестановці його членів. При цьому сума ряду залишається незмінною.

3.Якщо ряд збіжний умовно, то сума такого ряду залежить від порядку його членів. Ряд навіть може стати розбіжним.

Приклади 20. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд:

∞	5−8sin n
∑	3	4	(7)
n=1	3 n	4

Складаємо ряд з абсолютних величин членів даного ряду:

∞		5−8 sin n		(8)
n∑=1			3 n3 4

Припустимо, що цей	ряд		збіжний і застосуємо І ознаку

5−8 sin n			13
порівняння. Так, як		≤			, то для порівняння
	3 n3 4		3 n3 4
розглядаємо ряд
	∞	13
	∑			.	(9)
		3
	n =1	3 n 4

Для дослідження збіжності ряду (9) застосуємо ІІІ ознаку порівняння. Порівняємо його із збіжним узагальненим гармонійним рядом

∞

∑

(10)

Загальні члени рядів (9) і (10):

n =1

;

3 n3 4

За третьою ознакою порівняння

lim

=lim

13 n3

=lim

≠0

n ∞ vn

n ∞ 3 n3 4

n ∞ 3 4/n3

Отже ряди (9) і (10) мають однакову збіжність. Ряд (10) збіжний, тому і ряд (9) за ІІІ ознакою порівняння теж збіжний; ряд (8) за І ознакою порівняння збіжний; заданий ряд (7) збіжний абсолютно.

П.4 Знакопереміжні ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду

Знакопереміжними рядами називаються такі знакозмінні ряди у яких кожні два сусідніх члена мають протилежні знаки.

Знакопереміжні ряди записуються у вигляді

∞
u1−u2 u3−u4±...=∑ −1 n 1 un ,	(11)

n=1

де u1 ,u2 , ... , un абсолютні величини членів знакопереміжного

ряду.

Достатня ознака збіжності знакопереміжного ряду, що належить Лейбніцу:

Теорема (ознака Лейбніца)

Якщо члени знакопереміжного ряду (11) монотонно спадають по абсолютній величині і загальний член ряду прямує до нуля при

	n	lim u =0		, то цей знакопереміж
необмеженому зростанні		n ∞	n	, то цей знакопереміж

ний ряд збіжний. Зауваження.

1.Ми вважали перший член знакопереміжного ряду (11) додатним. Якщо він від'ємний, то після множення всіх члени ряду на (1) цей ряд може бути перетворений у ряд з першим додатним членом.

2.Сума ряду Лейбніца з першим додатним членом завжди додатна і менша цього числа.

При наближених обчисленнях якщо за значення суми ряду Лейбніца наближено взяти значення частинної суми цього ряду, то абсолютна величина одержаної при цьому похибки буде менша абсолютної величини першого із відкинутих членів; знак похибки співпадає із знаком цього члена.

Приклад		21. Дослідити на збіжність числовий ряд:
∞	n−1
∑	−1	.
∑	n!	.
n =1	n!

Якщо ряд збіжний, встановити характер збіжності і знайти суму ряду з точністю до 0,01.

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202524.39 Mб0Бетонні і залізобетонні греблі на секльній осн...doc
#
12.02.201633.95 Кб6БЖД.docx
#
12.02.201637.41 Кб23БЖД.docx
#
01.04.2025181.76 Кб0БЖД2.doc
#
01.04.2025280.58 Кб0Билеты1-34.doc
#
12.02.20161.45 Mб107Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА.pdf
#
12.02.20161.64 Mб134Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА.pdf
#
19.12.2018822.27 Кб209Буд.конструкції.doc
#
01.03.2025694.41 Кб0Будівельні конструкції екзамен білети.docx
#
12.02.2016550.34 Кб49Буклет Менеджмент.pdf
#
01.05.2025433.75 Кб0бух обл.docx