Варіант №29

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:

Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно

∞ −1 n

∑ 3n n 9 .

n =1

Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд

1

∫ 5 x sin x dx .

0

Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)

і середнє квадратичне відхилення (Х).

На станції спостереження встановлені 2 радіолокатори різних конструкцій. Ймовірність виявлення цілі для першого локатора складає 0,82; для другого – 0,95. Х – число радіолокаторів, які виявлять ціль.

221

Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:

{0, при x a ;

F x = k x−a 2 , при a x b ;

1, при x b.

Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність

попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та

зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.

a = –3; b = 6; = 0; = 15.

Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною

222

Варіант №30

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:

Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно

∞ −1 n

∑ n ln13 n .

n=2

Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд

1/ 9

∫ 1 x3 dx .

0

Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)

і середнє квадратичне відхилення (Х).

На ділянці зрошувального каналу є п’ять автоматичних затворів. Ймовірність того, що на протязі дня затвор буде відкритим, складає для кожного з них 0,85. Х – число відкритих на протязі дня затворів.

223

Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:

{0, при x a ;

F x = k x−a 2 , при a x b ;

1, при x b.

Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність

попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та

зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.

a =6; b = 9; =8; = 14.

Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною

224

6. Самостійна робота студента

Самостійна робота студента включає в себе опрацювання теоретичного матеріалу курсу “Вища математика”, що розглядається у ІV семестрі за підручниками, конспектами і навчальними посібниками, підготовку до практичних занять, виконання домашніх вправ та індивідуальної роботи (ТР), опрацювання окремих розділів робочої програми з навчальної дисципліни, які не виносяться на лекції, підготовку до написання контрольних модульних робіт, до складання іспиту з обов'язковим розв'язуванням тестових завдань.

Нормативи обліку самостійної роботи студента у системі МСОНР­ECTS

225

7. Форми підсумкового контролю

Формою підсумкового контролю за IV семестр є іспит для студентів стаціонарної і заочної форм навчання.

До іспиту допускається студент, якщо за всіма формами навчальної діяльності він одержить протягом семестру не менше 36 балів. На іспиті він може одержати до 40 балів включно.

Переведення даних 100­бальної шкали оцінювання у 5­бальну шкалу за системою ECTS проводиться відповідно таблиці:

226

8. Питання для підготовки до іспиту за IV семестр

Питання для підготовки до іспиту за IV семестр складаються з теоретичних питань до змістових модулів №1, №2, №3.

Розділ 1 “Ряди”

1.Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні теореми про збіжні числові ряди.

2.Необхідна ознака збіжності числових рядів, її недостатність.

3.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Ознаки порівняння.

4.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Ознака Даламбера. Радикальна ознака Коші.

5.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Інтегральна ознака Коші.

6.Знакозмінні та знакопереміжні числові ряди Абсолютна і умовна збіжність. Теорема Лейбніца.

7.Степеневі ряди. Теорема Абеля.

8.Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Їх знаходження у найпростіших випадках. Основні властивості степеневих рядів.

9.Ряди Тейлора і Маклорена. Необхідна і достатня умови розкладу функції в ряд Тейлора.

13.Біноміальний ряд.

14.Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення визначених інтегралів.

227

15. Застосування степеневих рядів до до наближеного інтегрування диференціальних рівнянь.

Розділ 2 “Основи теорії ймовірностей”

1.Масові випадкові явища. Предмет теорії ймовірностей. Події та їх класифікація. Алгебра подій.

2.Частоти і їх властивості. Ймовірність події. Аксіоми теорії ймовірностей.

3. Класичний і статистичний методи визначення базових ймовірностей. Елементи комбінаторики.

4.Властивості ймовірностей (ймовірність появи протилежної події, ймовірність появи неможливої події, теорема додавання ймовірностей будь­яких двох подій, умовна ймовірність, теореми добутку ймовірностей для залежних і незалежних подій).

5.Формули повної ймовірності і формули Байєса.

6.Послідовність незалежних випробувань. Схема Бернуллі. Формула Бернуллі. Найімовірніша частота появи події в незалежних пробах.

7.Граничні теореми Лапласа і Пуассона.

8.Поняття випадкової величини. Дискретні і неперервні випадкові величини. Функція розподілу і її властивості.

9.Розподіл дискретних випадкових величин. Типові розподіли: біноміальний і пуассонівський.

10.Неперервний і абсолютно неперервний розподіли. Функція розподілу і щільність розподілу абсолютно неперервних випадкових величин. Властивості щільності розподілу. Ймовірність попадання абсолютно неперервної випадкової величини в заданий інтервал.

11.Типові розподіли неперервних випадкових величин: рівномір­ ний, нормальний. Крива Гауса.

12.Ймовірність попадання в заданий інтервал і ймовірність заданого відхилення для нормально розподіленої випадкової вели­

228

чини. Правило трьох сигм.

13.Математичне сподівання і дисперсія випадкових величин та їх властивості.

14.Математичне сподівання і дисперсія при типових розподілах випадкових величин : дискретних (біноміальному, пуассонівсько­ му), неперервних (рівномірному, нормальному).

15.Початкові і центральні моменти.

16.Нерівність Чебишова. Закон великих чисел для послідовності незалежних випадкових величин. Теореми Чебишова і Бернуллі. Поняття про центральну граничну теорему.

Розділ 3 “Основи математичної статистики”

1.Генеральна сукупність і вибірка. Репрезентативність вибірки. Задачі математичної статистики.

2.Групування вибіркових даних. Емпіричні ряди розподілу, їх графічне зображення.

3.Числові характеристики одномірної вибірки (вибіркові середні, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення).

4.Статистичні оцінки параметрів розподілу. Вимоги до статистичних оцінок. Точкові оцінки. Інтервальні оцінки. Надійний інтервал. Знаходження надійного інтервалу для математичного сподівання.

5.Статистичні гіпотези. Перевірка статистичних гіпотез. Поняття про критерії узгодження. Критерій Пірсона.

6.Елементи теорії кореляції. Системи випадкових величин. Функція і щільність розподілу. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції.

7.Регресія. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Емпірична лінія регресії і вибіркове рівняння прямої регресії.

229