Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА
.pdf
1.4 Розподіл балів, що присвоюються студентам згідно кредитномодульної системи
|
|
|
|
|
Модуль 1 |
|
|
|
Підсум |
Сума |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ковий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контроль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(іспит) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Змістовий |
|
Змістовий |
Змістовий |
|
|
||||||
|
|
модуль 1 |
|
модуль |
модуль 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
40 |
100 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
20 |
|
20 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т1 |
|
Т2 |
|
Т3 |
Т4 |
|
Т5 |
Т6 |
|
Т7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
10 |
|
10 |
10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
2.Змістовий модуль №1 “Ряди”
2.1Методичні рекомендації до вивчення змістового модуля №1 “Ряди”
Перед вивченням цього розділу необхідно обов'язково повторити розділ основні правила диференціювання та інтегрування, таблиці похідних і невизначених інтегралів. Після вивчення теоретичного матеріалу змістового модуля №1 потрібно відповісти на питання для самоперевірки. Сприятиме засвоєнню матеріалу виконання індивідуального завдання на тему “Ряди”, виконання завдань навчального та тренінгового варіантів модульної роботи.
2.2Теоретичні питання до змістового модуля №1 “Ряди”
1.Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні теореми про збіжні числові ряди.
2.Необхідна ознака збіжності числових рядів, її недостатність.
3.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Ознаки порівняння.
4.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Ознака Даламбера. Радикальна ознака Коші.
5.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Інтегральна ознака Коші.
6.Знакозмінні та знакопереміжні числові ряди Абсолютна і умовна збіжність. Теорема Лейбніца.
7.Степеневі ряди. Теорема Абеля.
8.Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Їх знаходження у найпростіших випадках. Основні властивості степеневих рядів.
9.Ряди Тейлора і Маклорена. Необхідна і достатня умови розкладу функції в ряд Тейлора.
12
10. Розклад в степеневий ряд функцій |
e х , |
e− х . |
|
11. Розклад в степеневий ряд функцій |
sin х |
, |
cos х . |
12. Розклад в степеневий ряд функцій |
ln 1 х |
, arctg x . |
|
13.Біноміальний ряд.
14.Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення визначених інтегралів.
15.Застосування степеневих рядів до до наближеного інтегрування диференціальних рівнянь.
Література [3], т. 2, Гл. XVI ; M. 085111, cтор. 2836.
2.3Питання для самоперевірки
1.Дайте означення числового ряду, збіжності і суми ряду.
2.Сформулюйте основні теореми про збіжні числові ряди.
3.Сформулюйте і доведіть необхідну ознаку збіжності числових рядів. В чому полягає її недостатність? Який висновок ми ро бимо, якщо виконана необхідна ознака збіжності ряду? Який висновок ми робимо, коли вона не виконується?
4.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Сформулюйте ознаки порівняння.
5.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Сформулюйте ознаку Даламбера і радикальну ознаку Коші.
6.Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Сформулюйте і доведіть інтегральна ознаку Коші.
7.Який ряд називається знакозмінним? Що таке абсолютна і умовна збіжність знакозмінного ряду?
8.Дайте означення знакопереміжного числового ряду. Сформу люйте і доведіть теорему Лейбніца.
9.Дайте означення степеневого ряду. Сформулюйте і доведіть теорему Абеля.
13
10.Дайте означення інтервалу і радіусу збіжності степеневого ряду. Розкажіть про їх знаходження у найпростіших випадках.
11.Які ви знаєте основні властивості степеневих рядів?
12.Запишіть формули Тейлора і Маклорена та залишкові члени цих формул.
13.Запишіть ряди Тейлора і Маклорена.
13. |
Які необхідна і достатня умови розкладу функції в ряд |
|||
Тейлора? |
|
|
|
|
14. Розкладіть в степеневий ряд функції |
e х , |
e− х . |
||
15. Розкладіть в степеневий ряд функції |
sin х |
, |
cos х . |
|
16. Розкладіть в степеневий ряд функції |
ln 1 х |
, arctg x . |
||
17.Запишіть біноміальний ряд.
18.Розкажіть про застосування степеневих рядів до наближеного обчислення визначених інтегралів. Наведіть приклад.
19.Розкажіть про застосування степеневих рядів до до набли женого інтегрування диференціальних рівнянь. Наведіть приклад.
2.4Короткі теоретичні відомості. Довідковий матеріал
У розділі “Ряди” поняття суми скінченного числа доданків узагальнюється на деякі випадки нескінченної множини доданків і вивчаються властивості таких нескінченних сум.
§ 1. Числові ряди
П.1 Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні теореми про збіжні числові ряди
Нехай u1 ,u2 , ... , un , ... , |
де un= f n , n , – числова |
послідовність. |
|
14
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
Вираз |
|
|
u1 u2 ... un ...=∑un |
|
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
називається |
числовим рядом; числа |
u1 ,u2 , ... , un , ... |
– членами |
|||||
ряду; |
un |
– загальним членом ряду. Суму перших |
n |
членів |
||||
числового ряду позначають символом |
S n |
і називають |
n |
ю час |
||||
тинною сумою ряду: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
S n=u1 u2 ... un=∑ ui |
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
Ряд називається збіжним, якщо його |
n |
на частинна сума |
при |
|||||
необмеженому зростанні n прямує до скінченної границі |
S |
, |
||||||
тобто : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim S n=S . |
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
n ∞ |
|
|
|
|
|
Число |
|
S називають сумою ряду. |
Якщо ж n на частинна |
|||||
сума при |
|
n ∞ |
не прямує до скінченної границі, то ряд нази |
|||||
вається розбіжним.
До основних теорем про збіжні числові ряди відносяться такі три теореми:
1)Про відкидання скінченного числа перших членів числового ряду;
2)Про множення числового ряду на сталий множник;
3)Про почленне додавання двох числових рядів.
Теорема 1. Якщо ряд
u1 u2 ... um um 1 um 2 ... un ... збіжний, то збіжним також є ряд um 1 um 2 ... un ... одержаний з даного шля
хом відкидання перших m членів ряду і |
навпаки, із збіжності |
mго залишку ряду випливає збіжність даного |
ряду. |
15
Теорема 2. |
Якщо збіжним |
є ряд |
u1 u2 ... un ... |
і |
|||
сума його |
є число |
S |
|
, то |
збіжним |
є |
ряд |
mu1 mu2 ... mun ... |
|
і сумою |
його є |
число |
m S |
, де |
|
m=const. |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3. |
Якщо збіжними є ряди |
|
|
|
|
||
u1 u2 ... un ... і v1 v2 ... vn ... ,
суми яких відповідно Su і S v |
, то збіжним є також ряд |
u1 v1 u2 v2 ... un vn ... |
і сумою його є Su Sv . |
П. 2 Необхідна ознака збіжності числових рядів. Її недостат ність
|
∞ |
Теорема. Якщо числовий ряд |
u1 u2 ... un ...=∑un |
|
n=1 |
збіжний, то його загальний член |
un прямує до нуля при |
необмеженому зростанні n, тобто |
|
lim un=0 .
n ∞
Вказана ознака є тільки необхідною, але вона недостатня для того, щоб зробити висновок про збіжність числового ряду. Якщо ознака виконується, то кажуть, що ряд може збігатися. Якщо ознака не виконана, то ряд – розбіжний.
Приклади. З допомогою необхідної ознаки збіжності дослідити збіжність числових рядів.
∞ |
2 |
4 n 1 |
|
|
|
2 |
|
|
Приклад 1. ∑ |
3 n |
|
; |
un= |
3 n 4 n 1 |
|
; |
|
5 n 2 2 n 7 |
|
5 n 2 2 n 7 |
|
|||||
n =1 |
|
|
|
|||||
16
|
lim un=lim |
3 n2 |
4 n 1 |
|
= нев. ∞∞ = |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n ∞ |
n ∞ 5 n 2 2 n 7 |
|
|
|
|
||||
=lim |
n2 3 4 /n 1/n2 |
=lim |
|
|
3 4/ n 1/n2 |
= |
3 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
n ∞ n 5 2/n n 2 7/n |
n ∞ 5 2 /n 2 7/n 10 |
|||||||||
Висновок. Необхідна ознака збіжності не виконана. Ряд розбіжний.
|
∞ |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||
Приклад 2. |
∑ |
; un= |
; |
lim un=lim |
=0 . |
|||||||||||
n 5 |
n 5 |
|
||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
n ∞ |
|
n ∞ n 5 |
|
|||||||
Висновок. Необхідна ознака збіжності |
виконана. Ряд може збіга |
|||||||||||||||
тися (пізніше ми встановимо, що він розбіжний). |
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Приклад 3. |
∑ |
|
; |
un= |
; |
lim un=lim |
=0 . |
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
n =1 |
n |
|
|
|
n |
n ∞ |
n ∞ n |
|
|
||||||
Висновок. Необхідна ознака збіжності виконана. Ряд може збіга тися (пізніше ми встановимо, що він збіжний).
П.2 Ряди з додатними членами. Достатні ознаки збіжності
Перейдемо до розгляду достатніх ознак збіжності числових рядів, Це питання найпростіше розв'язується для рядів, члени яких невід'ємні. Для стислості такі ряди прийнято називати додатними.
Частинна сума S n такого ряду буде монотонно зростати при
зростанні n. Всі достатні ознаки збіжності додатних рядів спираються на теорему:
Теорема. Для того, щоб ряд з додатними членами був збіжним, необхідно і достатньо, щоб сума S n його перших членів була обмежена зверху, тобто, для будьякого n ця сума була менша за
17
деяку сталу.
Це випливає з властивостей монотонно зростаючої величини, обмеженої зверху. Однак безпосереднє застосування цієї теореми на практиці викликає великі труднощі. Тому з неї виводять різні наслідки, які хоч і менш загальні, але більш зручні для використання. Розглянемо 6 з них : три ознаки порівняння, ознаку Даламбера і дві ознаки Коші ( радикальну та інтегральну) .
Ознаки порівняння засновані на порівнянні збіжності двох рядів при умові, що збіжність одного з них відома.
Нехай дано два ряди з додатними членами:
∞ |
∞ |
∑un (1a) і |
∑ vn (2a) . |
n =1 |
n =1 |
Перша ознака порівняння. Якщо члени ряду (1a) не більші відповідних членів ряду (2a) un≤vn і ряд (2a) збіжний, то і ряд (1a) також збіжний.
Друга ознака порівняння. Якщо члени ряду (1a) не більші відповідних членів ряду (2a) un ≤vn і ряд (1a) розбіжний, то і ряд (2a) також розбіжний.
Третя ознака порівняння. Якщо існує скінченна і відмінна від
нуля границя lim un = A≠0 то обидва ряди мають однакову
n ∞ vn
збіжність, тобто одночасно збіжні або одночасно розбіжні.
Зауваження. Досить часто при використанні ознак порівняння застосовують такі ряди, збіжність яких відома:
18
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Ряд |
a aq a q2... aqn−1 ...=∑ a qn−1 |
, |
|
складений |
з |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
членів |
геометричної прогресії. Геометричний ряд |
|
збіжний |
при |
|||||||||||||||||
q 1 |
і розбіжний, при |
q ≥1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Ряд ∑ |
|
, який називається гармонійним. Він розбіжний. |
|
||||||||||||||||||
n |
|
||||||||||||||||||||
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Ряд |
∑ |
|
, який називається узагальненим гармонійним. |
|||||||||||||||||
|
к |
||||||||||||||||||||
|
|
|
n =1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Він збіжний при |
k 1 і розбіжний при |
|
k ≤1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд: |
∑ |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
збіжний, |
так як його члени не |
більші |
відповідних членів |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
, де q= 1 |
|
q 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ n−1 |
|
|
|||||||||||
збіжного геометричного ряду |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3 n |
2 |
4 n 1 ; |
|
|
|
||
Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд: |
∑ |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
5 n |
6 n 2 |
|
|
|
|
||
|
un= 3 n |
2 |
4 n 1 . Для порівняння вибираємо ряд: |
∞ |
|
1 |
|
||||||||||||||
|
3 |
∑ |
; |
||||||||||||||||||
|
|
5 n |
6 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
n |
|
|||||
vn = 1n . Це гармонійний ряд, він розбіжний. Застосовуємо третю ознаку порівняння:
|
un |
|
3 n2 4 n 1 |
n |
|
3 4 /n 1/n2 |
|
3 |
|
lim |
|
=lim |
|
=lim |
|
= |
|
≠0 . |
|
|
|
|
|
||||||
n ∞ vn |
n ∞ 5 n3 6 n 2 |
1 |
n ∞ 5 6 /n2 2 /n3 |
|
5 |
|
|||
Висновок. Обидва ряди мають однакову збіжність. Ряд, вибраний для порівняння, розбіжний. Отже, і заданий ряд розбіжний.
19
Ознака Даламбера (в граничній формі)
Нехай існує lim |
un 1 |
=l . |
Тоді: при l 1 |
ряд з додатними |
||
un |
||||||
n ∞ |
|
|
|
|
||
членами збіжний; при |
l 1 |
ряд розбіжний; |
при |
l=1 |
||
ознака не працює. |
|
|
|
|
|
|
Приклади. Дослідити на збіжність ряди за ознакою Даламбера:
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
3 |
n 1 |
|
3 |
n |
||||||
Приклад 6. |
∑ 3 |
. |
|
|
un= 3 |
|
; |
un 1= |
|
|
= |
|
3 |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 1 |
||||||||||||||
lim |
un 1 |
=lim |
3n 3 |
|
|
n |
=3 lim |
n |
|
=3 lim |
|
1 |
|
|
=3 1 . |
|||||||||||||||||||
u |
|
n 1 |
3n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n ∞ |
n |
|
n ∞ |
|
|
|
|
n ∞ |
|
|
n ∞ 1 1 |
/n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд розбіжний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
un= 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Приклад 7. |
∑ 2 |
. |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Зауваження. |
n! , де |
|
n читається “nфакторіал”, це |
|||||||||||||||||||||||||||||||
добуток перших n натуральних чисел, тобто: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n!=1 2 3 ... n . Прийнято 0!=1. Отже |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1!=1 ; 2!=1 2=2 ; 3!=1 2 3=6 ; 4!=1 2 3 4=24 і т.д. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 !=1 2 3 ... n n 1 =n! n 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
= |
2n 1 |
= |
2n 2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
n 1 ! |
n! n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
un 1 |
=lim |
|
|
2n 2 |
|
|
|
n! |
=2 lim |
1 |
|
=0 1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
u |
|
n! n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n ∞ |
n |
|
n ∞ |
2n |
|
|
|
n ∞ |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд збіжний.
20