Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА

Варіант №4

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:

Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно

∞ −1 n−1

∑ .

n =1 9 n 3

Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд

1

4

∫ sin 4 x dx .

0 x

Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)

і середнє квадратичне відхилення (Х).

В кожній сотні приладів, які випускає деякий завод, 70 першосортних. Х – число першосортних приладів серед чотирьох взятих.

171

Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:

{0, при x a ;

F x = k x−a 2 , при a x b ;

1, при x b.

Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність

попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та

зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.

a = –3; b = 6; = 0; = 8.

Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною

172

Варіант №5

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:

Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно

∞ −1 n−1

∑ n2 9 .

n =1

Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд

1

5

∫ sin 5 x dx .

0 x

Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)

і середнє квадратичне відхилення (Х).

Для зрошення деякої ділянки використовують два незалежно працюючих трубопроводи. Ймовірність розриву трубопроводу внаслідок гідравлічного удару на протязі сезону складає для першого з них 0,08; для другого – 0,15. Х – число розірваних на протязі сезону трубопроводів.

173

Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:

{0, при x a ;

F x = k x−a 2 , при a x b ;

1, при x b.

Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність

попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та

зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.

a = 4; b = 10; = 6; = 14.

Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною

174

Варіант №6

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:

Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно

∞

∑n =1 n 2 5n .

Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд

1

6

∫ sin x dx .

0 x

Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)

і середнє квадратичне відхилення (Х).

Для деякого шахіста ймовірність виграшу в кожній партії складає 0,8. Грається матч з чотирьох партій. Х – число виграних партій.

175

Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:

{0, при x a ;

F x = k x−a 2 , при a x b ;

1, при x b.

Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність

попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та

зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.

a = ­4; b = 5; = 2; = 8.

Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною

176

Варіант №7

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:

Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно

∞ −1 n

∑ n ln4 n .

n=2

Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд

1

7

∫e− x2 dx .

0

Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)

і середнє квадратичне відхилення (Х).

Робітник обслуговує два насоси, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що робота першого насосу на протязі зміни вимагатиме втручання робітника, становить 0,4; для другого

– 0,6. Х – число насосів, які на протязі зміни будуть вимагати втручання робітника.

177

Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:

{0, при x a ;

F x = k x−a 2 , при a x b ;

1, при x b.

Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність

попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та

зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.

a = ­1; b = 8; = 5; = 10.

Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною

178

Варіант №8

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:

Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно

∞ −1 n ∑n =1 n 1 8 .

Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд

Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)

і середнє квадратичне відхилення (Х).

Обчислювальний центр, що складається з двох ЕОМ, які працюють незалежно одна від одної, проводить обробку інформації. Ймовірність відмови на протязі деякого часу для першої ЕОМ складає 0,1; для другої – 0,2. Х – число ЕОМ, які відмовлять за вказаний час.

179

Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:

{0, при x a ;

F x = k x−a 2 , при a x b ;

1, при x b.

Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність

попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та

зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.

a = ­2; b = 4; = 0; = 6.

Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною

180