Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА
.pdfКритичні точки розподілу 2
Число сте |
|
Рівень значущості |
|
|
|||
пенів |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
свободи |
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,95 |
|
0,975 |
0,99 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6,6 |
5,0 |
3,8 |
0,0039 |
|
0,00098 |
0,00016 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9,2 |
7,4 |
6,0 |
0,103 |
|
0,051 |
0,020 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
11,3 |
9,4 |
7,8 |
0,352 |
|
0,216 |
0,115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
13,3 |
11,1 |
9,5 |
0,711 |
|
0,484 |
0,297 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
15,1 |
12,8 |
11,1 |
1,15 |
|
0,831 |
0,554 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
16,8 |
14,4 |
12,6 |
1,64 |
|
1,24 |
0,872 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
18,5 |
16,0 |
14,1 |
2,17 |
|
1,69 |
1,24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
20,1 |
17,5 |
15,5 |
2,73 |
|
2,18 |
1,65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
21,7 |
19,0 |
16,9 |
3,33 |
|
2,70 |
2,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
23,2 |
20,5 |
18,3 |
3,94 |
|
3,25 |
2,56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
24,7 |
21,9 |
19,7 |
4,57 |
|
3,82 |
3,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
26,2 |
23,3 |
21,0 |
5,23 |
|
4,40 |
3,57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
27,7 |
24,7 |
22,4 |
5,89 |
|
5,01 |
4,11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
29,1 |
26,1 |
23,7 |
6,57 |
|
5,63 |
4,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
30,6 |
27,5 |
25,0 |
7,26 |
|
6,26 |
5,23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
32,0 |
28,8 |
26,3 |
7,96 |
|
6,91 |
5,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
33,4 |
30,2 |
27,6 |
8,67 |
|
7,56 |
6,41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
34,8 |
31,5 |
28,9 |
9,39 |
|
8,23 |
7,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
161
5.1 Методичні поради до виконання контрольної роботи студентами заочної форми навчання. Зразок типової контрольної роботи
Після вивчення теоретичного матеріалу змістових модулів № 1, №2, №3 потрібно відповісти на питання для самоперевірки. Сприятиме засвоєнню матеріалу виконання навчального варіанту та відповідних індивідуальних завдання по тематиці кожного модуля.
Наведемо зразок типової контрольної роботи.
Контрольна робота №4 “Ряди. Теорія ймовірностей”
(60 б. : 36 б. осн. + 24 б. захист)
Варіант № 31
Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:
∞ |
3 |
n |
∞ |
1 |
|
|
|
a) ∑ |
|
; |
б) ∑ |
|
. |
||
|
|
|
|
||||
n =1 |
n |
n =1 |
n 1 ln n 1 |
|
|||
Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно:
∞ |
−1 |
n−1 |
|
∑ |
|
. |
|
|
|
||
n =1 |
n! |
||
Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд:
1
∫x2 cos x dx .
0
Завдання 4. Задана таблиця розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х. Побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X) і середнє
квадратичне відхилення (Х).
162
xi |
3 |
4 |
6 |
7 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,20 |
0,10 |
0,30 |
0,10 |
0,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:
{0, при x a ;
F x = k x−a 2 , при a x b ;
1, при x b.
Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності
розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність попадання випадкової величини Х в
інтервал ( , ) та зобразити цю ймовірність на графіках
функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.
a = 3; b = 8; = 5; = 9.
Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною
масою) а кг і середнім квадратичним відхиленням |
кг. Знайти |
||||
ймовірності |
того, що |
маса |
навмання |
взятого блока буде: 1) |
|
знаходитись |
в межах |
від |
до |
кг; 2) |
відхилятись від |
проектної маси по абсолютній величині менше ніж на |
кг. |
|||
A = 220; |
= 3; |
= 213; |
= 223; |
= 5. |
Всі ці завдання були розв'язані вище у відповідних розділах.
163
Зауваження. Завдання 4 може бути задано і дещо інакше.
Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X) і середнє
квадратичне відхилення (Х).
На насосній станції працюють незалежно один від одного два насоси. Ймовірність нормальної роботи (без втручання механіка) на протязі доби для першого насосу становить 0,6, а для другого 0,7. Х – число нормально працюючих на протязі доби насосів.
Розв'язання. Позначимо події: А — нормально працює на протязі доби І насос; В — нормально працює на протязі доби ІІ насос.
Їх ймовірності: Р А =0,7 ; Р В =0,6. Ймовірності протилежних подій:
P A =1−P A =0,3 ; P B =1−P B =0,4 .
Величина Х – число нормально працюючих на протязі доби насосів, приймає значення: 0; 1; 2. Знайдемо відповідні ймовірності.
P x =0 =P A B =P A P B =0,3 0,4=0,12 ;
P x=1 =P A B A B =P A P B P A P B = =0,3 0,6 0,7 0,4=0,18 0, 28=0,46 ;
P x=2 =P A B =P A P B =0,7 0,6=0,42 .
Ряд розподілу:
xi |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,12 |
0,46 |
0,42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далі працюємо як з дискретною величиною, заданою у вигляді таблиці розподілу (див. приклад на стор. 91).
164
5.1 Варіанти завдань до контрольної роботи №4 “Ряди. Теорія ймовірностей” для студентів заочної форми навчання (30 ва ріантів)
Варіант №1
Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:
∞ |
9n |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
a) ∑ |
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
|
. |
n |
5 |
n 1 |
3 |
|
||||
n =1 |
|
|
n =1 |
ln |
n 1 |
|||
Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно
∞ −1 n−1
∑ .
n =1 4 n 1
Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд
1
8
∫ sin x dx .
0 x
Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)
і середнє квадратичне відхилення (Х).
165
Для сигналізації про пожежу в цеху встановлено 4 сигналізатори, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що при пожежі сигналізатор спрацює дорівнює 0,9 для кожного з них. Х – число сигналізаторів, які спрацюють при пожежі.
Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:
{0, при x a ;
F x = k x−a 2 , при a x b ;
1, при x b.
Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність
попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та
зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.
a = 2; b = 8; = 4; |
= 10. |
Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною
масою) а кг і середнім квадратичним відхиленням |
|
кг. Знайти |
|||
ймовірності того, що маса навмання взятого блока буде: |
|
||||
1) знаходитись в межах від |
до |
кг; 2) відхилятись від |
|||
проектної маси по абсолютній величині менше ніж на |
|
кг. |
|||
a = 200; |
= 4; |
= 192; |
= 210; |
|
= 5. |
166
Варіант №2
Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:
∞ |
n |
|
|
∞ |
1 |
|
|
a) ∑ |
7 |
|
; |
б) ∑ |
|
. |
|
n 2 |
|
4 |
|
||||
n =1 |
! |
n=2 |
n ln |
n |
|||
Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно
∞ −1 n 1 ∑n =1 n 3 9n .
Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд
1
2
∫e− x2 dx .
0
Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)
і середнє квадратичне відхилення (Х).
На насосній станції незалежно один від одного працюють два насоси. Ймовірність нормальної роботи (без втручання механіка) для першого насоса становить 0,8; для другого – 0,9. Х – число нормально працюючих на протязі дня насосів.
167
Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:
{0, при x a ;
F x = k x−a 2 , при a x b ;
1, при x b.
Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність
попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та
зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.
a = –2; b = 7; = 0; = 9.
Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною
масою) а кг і середнім квадратичним відхиленням |
|
кг. Знайти |
||
ймовірності того, що маса навмання взятого блока буде: |
|
|||
1) знаходитись в межах від |
до |
кг; 2) відхилятись від |
||
проектної маси по абсолютній величині менше ніж на |
|
кг. |
||
a = 400; = 6; |
= 394; |
= 420; |
|
= 8. |
168
Варіант №3
Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: (а) користуючись ознакою Даламбера ; (б) інтегральною ознакою збіжності рядів:
∞ |
3 |
|
∞ |
|
|
a) ∑ |
n |
; |
б) ∑ |
n |
. |
n |
2 |
||||
n =1 |
5 |
|
n =1 |
2 n 9 |
|
Завдання 2. Дослідити на збіжність знакозмінний ряд. Якщо ряд збіжний, то встановити чи він збіжний абсолютно, чи умовно
∑∞ −1 n 1 .
n =1 5n
Завдання 3. Обчислити означений інтеграл з точністю до 0,001 методом розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд
1
∫9 ln 1 x2 dx .
0 x2
Завдання 4. Скласти таблицю розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х, побудувати багатокутник розподілу, знайти математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X)
і середнє квадратичне відхилення (Х).
Ймовірність правильної відповіді на кожне з 4х питань екзаменаційного білета для деякого студента складає 0,8. Х – число правильних відповідей.
169
Завдання 5. Задана функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервної випадкової величини Х:
{0, при x a ;
F x = k x−a 2 , при a x b ;
1, при x b.
Необхідно: 1) знайти коефіцієнт k і щільність розподілу ймовірностей; 2) побудувати графіки функцій розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей; 3) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х; 4) знайти ймовірність
попадання випадкової величини Х в інтервал ( , ) та
зобразити цю ймовірність на графіках функції розподілу ймовірностей і щільності розподілу ймовірностей.
a = 3; b = 9; = 4; = 12.
Завдання 6. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною
масою) а кг і середнім квадратичним відхиленням |
|
кг. Знайти |
|||
ймовірності того, що маса навмання взятого блока буде: |
|
||||
1) знаходитись в межах від |
до |
кг; 2) відхилятись від |
|||
проектної маси по абсолютній величині менше ніж на |
|
кг. |
|||
a = 600; |
= 12; |
= 584; |
= 612; |
|
= 10. |
170