Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА
.pdfЗнаходимо найбільше і найменше значення варіант: |
|
|
||||||||
xmax=103,4 ; |
|
xmin=52,0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число інтервалів |
k знаходиться за емпіричною формулою: |
|||||||||
k ≥1 3,22 lg n , |
де n — об'єм вибірки. |
|
|
|||||||
k ≥1 3,22 lg50≈6,47. Приймаємо |
k =7 . |
|
|
|||||||
Довжина інтервалу h визначається за формулою: |
|
|
||||||||
h≈ |
x max− xmin |
= |
103,4−52,0 |
≈8,57. |
Приймаємо |
h=9 . |
||||
k −1 |
7−1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Початок першого інтервалу: a |
≈x |
|
− |
1 h=52,0− |
9 |
=47,5 . |
||||
|
2 |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
min |
|
2 |
|
|
Кінець першого інтервалу: b1=a1 h=47,5 9=56,5 . Для наступних інтервалів:
|
ai 1=ai h=a1 i h; bi 1=ai 1 h , |
i=1, ... , k −1 |
|
|||||
Визначаємо всі інтервали і проводимо групування даних |
|
|||||||
спостережень. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
(47,5; |
(56,5; |
(65,5; |
(74,5; |
(83,5; |
(92,5; |
(101,5; |
|
|
56,5) |
65,5) |
74,5) |
83,5) |
92,5) |
101,5) |
110,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
// |
//////// |
////////// |
////////// |
///// |
// |
|
|
|
|
|
////////// |
// |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підраховуємо кількість значень випадкової величини, що потрапила в кожний інтервал. Перевіряємо, чи xmin=52,0 і
xmax =103,4 і потрапили відповідно в перший і останній інтервали. Умова виконана.
Знаходимо середини інтервалів xi= ai bi /2 і складаємо
131
відповідну таблицю, яка включає в себе емпіричний ряд розподілу:
№п.п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Інт. |
(47,5; |
(56,5; |
(65,5; |
(74,5; |
(83,5; |
(92,5; |
(101,5; |
|
56,5) |
65,5) |
74,5) |
83,5) |
92,5) |
101,5) |
110,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
52 |
61 |
70 |
79 |
88 |
97 |
106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
1 |
2 |
8 |
20 |
12 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ni нак |
1 |
3 |
11 |
31 |
43 |
48 |
50 |
i
Накопичені частоти ni нак. =∑ nj . Останнє значення повинно
j=1
дорівнювати об'єму вибірки, тобто 50, що виконано.
Графічне зображення статистичного ряду виконується з допомогою полігону і гістограми.
Полігон
ni
20
15
10
5
0 52 61 70 79 88 97 106 |
xi |
132
Гістограма
20 /9 ni /h
15/9
10 /9
5/9
x
047,5 56,5 65,5 74,5 83,5 92,5 101,5 110,5
Знаходимо числові характеристики вибірки. Вибіркова середня:
x = 1 ∑k n x =
ni=1
=1 1 52 2 61 8 70 20 79 12 88 5 97 2 106 =81,34 . 50 в i i
Вибіркова дисперсія
|
|
1 |
k |
2 |
1 |
k |
2 |
2 |
Dв |
= |
|
∑ ni xi −xв |
= |
|
∑ ni xi |
− xв . |
|
n |
|
|||||||
|
|
i =1 |
|
n i=1 |
|
|
||
Dв= 501 1 522 2 612 8 702 20 792 12 882 5 972501 2 1062− 81,34 2=116,02 .
133
Вибіркове середнє квадратичне відхилення:
в= Dв= 116,02=10,77 .
Точкові оцінки
Генеральне середнє: x= xв=81,34 .
Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є виправлена вибіркова дисперсія:
s2 = |
n |
D = 50 116,02=118,4 . |
|
|
|||
|
n−1 |
в |
49 |
|
|
||
Для оцінки середнього квадратичного відхилення використовується виправлена дисперсія:
s= s2= 118,4≈10,9 .
Інтервальні оцінки
|
I |
= |
− |
|
називається інтервалом надійності. |
|||||||||||||||||
Інтервал |
|
a |
|
;a |
|
|
|
|
||||||||||||||
Рівнем значущості такого інтервалу називають число |
=1− . |
|
||||||||||||||||||||
Надійний інтервал для генерального середнього: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x−t |
|
|
s |
a x t |
|
s |
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
де s — виправлене середнє квадратичне відхилення; t |
по |
|||||||||||||||||||||
надійності |
=0,999 і |
об'єму вибірки |
n=50 знаходиться |
по |
||||||||||||||||||
таблиці (стор. 159), |
t =3,502 . Отже: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
81,34 |
− |
3,502 10,9 |
|
a 81,34 |
|
3,502 10,9 |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
50 |
|
|
|
50 |
|
|
||||||||||||||
76,00 a 86,74 .
134
Для оцінки середнього квадратичного відхилення |
|
|
нормально |
|||||||||||||||
розподіленої величини |
з надійністю |
по виправленому вибірко |
||||||||||||||||
вому середньому квадратичному |
відхиленні |
s використовується |
||||||||||||||||
надійний інтервал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 1−q s 1 q |
|
, при q < 1; |
0 s 1 q , |
при q >1, |
||||||||||||||
де q знаходиться по таблиці (стор. |
160) |
|
|
згідно |
n=50 і |
|||||||||||||
=0,999 , q=0,43 |
. Отже |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10,9 1−0,43 10,9 1 0,43 |
; 6,21 15,59 . |
|||||||||||||||||
Перевірка гіпотези про нормальний розподіл |
|
|
|
|||||||||||||||
Число степенів свободи |
f =k−3=7−3=4. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Знаходимо для кожного інтервалу теоретичні частоти |
ni ' : |
|||||||||||||||||
|
ni '=n |
b |
−x |
− |
a |
−x |
. |
|
|
|
||||||||
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
в |
в |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
56,5−81,34 |
|
|
|
47,5−81,34 |
|
|
|||||||||
n '=50 |
|
− |
|
|
= |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
10,77 |
|
|
|
|
|
|
10,77 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
=50 −2,31 − −3,14 =50 − 2,31 3,14 = =50 −0,489 0,499 =50 0,01=0,50 ;
65,5−81,34 56,5−81,34 n2 '=50 10,77 − 10,77 =
=50 −1,47 − −2,31 =50 − 1,47 2,31 = =50 −0,429 0,489 =50 0,060=3,00 ;
135
|
|
|
74,5−81,34 − |
65,5−81,34 |
|
|
n |
'=50 |
|
|
= |
||
3 |
|
|
10,77 |
10,77 |
|
|
|
|
|
=50 −0,64 − −1,45 =50 − 0,63 1,45 = =50 −0,239 0,427 =50 0,188=9,40 ;
|
|
|
83,5−81,34 |
− 74,5−81,34 |
|
||
n '=50 |
|
|
= |
||||
4 |
|
|
10,77 |
|
10,77 |
|
|
|
|
|
|||||
=50 0,20 − −0,63 =50 0,20 0,63 = =50 0,079 0,236 =50 0,315=15,75 ;
|
|
|
|
92,5−81,34 − |
|
83,5−81,34 |
|
|
n |
'=50 |
|
|
|
= |
|||
5 |
|
|
|
10,77 |
|
10,77 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
=50 1,04 − 0,20 = |
|
|
||||
|
=50 0,351−0,079 =50 0,272=13,60 ; |
|
||||||
n6 |
'=50 |
101,510,77−81,34 − 92,510,77−81,34 = |
|||||||
|
|
|
=50 1,87 |
− 1,04 = |
|
|
|||
|
|
=50 0,469−0,351 |
=50 0,118=5,90 ; |
|
|
||||
n |
7 |
'=50 |
|
110,5−81,34 − 101,5−81,34 |
|
= |
|||
|
|
|
|
10,77 |
|
10,77 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=50 2,71 − 1,87 = =50 0,497−0,469 =50 0,028=1,40 .
136
Результати обчислень заносимо в таблицю:
|
№ п/п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
1 |
2 |
8 |
20 |
12 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni ' |
0,50 |
3,00 |
9,40 |
15,75 |
13,60 |
5,90 |
1,40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni — ni ' 2 |
0,50 |
0,33 |
0,21 |
1,15 |
0,19 |
0,14 |
0,26 |
|
|
ni ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На координатній площині з графіком полігону наносимо точкиxi ;ni ' , (i=1,...7) і будуємо криву Гауса.
|
|
|
k |
n |
−n |
' 2 |
|
|
Знаходимо |
сп2 =∑ |
i |
i |
|
≈2,78. |
|
||
|
ni ' |
|
|
|||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
||
По таблиці |
критичних |
значень при числі степенів свободи |
||||||
f =4 і |
заданому |
в |
завданні |
рівні значущості |
=0,05 |
|||
заходимо |
2кр =9,5 . |
|
|
|
|
|
||
Так як |
2 |
2 |
, то дані спостережень не суперечать гіпотезі |
|||||
|
сп |
кр |
|
|
|
|
|
|
про нормальний розподіл величини Х.
137
Завдання 2. Розв'язання
Використовуючи задану таблицю будуємо наступну таблицю:
У |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
n x |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
2 |
4 |
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
6 |
6 |
35 |
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
2 |
14 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
8 |
7 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ny |
2 |
10 |
11 |
57 |
20 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По цій таблиці знаходимо числові характеристики двомірної випадкової величини.
Вибіркові середні:
x= 1 ∑6 n x =
ni=1
=1 9 30 47 35 16 40 15 45 10 50 3 55 =38,95 ; 100 xi i
y= 1 ∑5 n y =
nj=1
=1 2 16 10 20 11 24 57 28 20 32 =27,34 . 100 yj j
138
|
|
1 |
k |
m |
|
x y= |
∑ ∑ ni j xi y j , |
||
|
|
|||
|
|
n i=1 j=1 |
||
де: |
ni j частота появи пари |
xi , y j . |
||
100 xy=2 30 16 4 30 20 3 30 24 6 35 20 6 35 2435 35 28 2 40 24 14 40 28 8 45 28 7 45 3210 50 32 3 55 32=108 100.
Звідки x y=1081. Вибіркові дисперсії:
Dxв= 1 ∑k nxi xi −x 2 ; n i=1
або
Dyв= 1 ∑m nyj y j−y 2 ;
n j =1
|
1 |
6 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
5 |
|
2 |
|
2 |
|
D = |
|
∑ |
n x |
|
− x |
|
; |
D |
= |
|
∑ |
n y |
j |
− y |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
xв |
n |
xi i |
|
|
|
|
yв |
|
|
yj |
|
|
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n j =1 |
|
|
|
|
|
||
Dxв= 1001 9 302 47 352 16 402 15 452 10 502 3 552 − − 38,95 2 =40,15 ;
Dyв= 1001 2 162 10 202 11 242 57 282 20 322 − − 27,34 2 =13,78.
Середні квадратичні відхилення:
xв= |
Dx2в |
=6,34 ; |
yв= |
Dy2в |
=3,71 . |
Шукаємо вибірковий коефіцієнт кореляції між X і Y:
139
|
|
|
|
|
x y−x y |
1081−38,95 27,34 |
|
|
|
|||||
|
|
r |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
=0,68. |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
S x S y |
6,34 3,71 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на X має вид: |
|
|||||||||||||
|
|
|
yв |
|
|
|
|
3,71 |
|
|
||||
y |
− y=r |
|
|
|
x−x ; |
y −27,34 |
=0,68 |
|
x−38,95 ; |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
в |
xв |
|
|
x |
|
6,34 |
|
|
||||
|
y |
=27,34 0,398 x−15,499 ; |
y |
=0,398 x 11,841 . |
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Так |
як вибірковий |
коефіцієнт кореляції rв=0,68 |
, і врахо |
|||||||||||
вуючи, що при |
|
|
r в 0,5 |
зв'язок слабкий , а при |
r в 0,8 |
|||||||||
зв'язок сильний, робимо висновок, що зв'язок між випадковими величинами середній.
Проведемо оцінку параметрів.
А. Точкові оцінки
Незміщеними оцінками генеральних середніх є вибіркові середні
x=38,95 ; y=27,34 .
Незміщеними оцінками генеральних дисперсій є виправлені вибір кові дисперсії:
s2x |
= |
|
n |
Dxв |
= |
100 40,15=40,56 ; |
||||
n−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|||
s |
2 |
= |
n |
|
D |
|
= 100 13,78=13,92 ; |
|||
y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
n−1 |
yв |
|
99 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для оцінок середніх квадратичних відхилень використовуються виправлені дисперсії:
s x= s2x=6,37 ; ; s y= s2y=3,73 .
140