Брушковський О. Л. ВИЩА МАТЕМАТИКА
.pdfВаріант |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
2 |
7 |
0 |
8 |
|
|
|
|
|
13 |
3 |
9 |
4 |
10 |
|
|
|
|
|
14 |
3 |
6 |
0 |
8 |
|
|
|
|
|
15 |
4 |
10 |
6 |
12 |
|
|
|
|
|
16 |
4 |
2 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
17 |
2 |
5 |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
18 |
2 |
9 |
0 |
12 |
|
|
|
|
|
19 |
3 |
12 |
5 |
14 |
|
|
|
|
|
20 |
3 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
21 |
4 |
11 |
6 |
14 |
|
|
|
|
|
22 |
4 |
5 |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
23 |
1 |
7 |
3 |
9 |
|
|
|
|
|
24 |
1 |
5 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
25 |
1 |
4 |
3 |
10 |
|
|
|
|
|
26 |
2 |
7 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
27 |
1 |
8 |
1 |
12 |
|
|
|
|
|
28 |
5 |
11 |
7 |
14 |
|
|
|
|
|
29 |
3 |
9 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
30 |
2 |
11 |
3 |
12 |
|
|
|
|
|
111
Завдання 5. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина Х з математичним сподіванням (проектною
масою) а кг і середнім квадратичним відхиленням кг. Знайти ймовірності того, що маса навмання взятого блока буде: 1)
знаходитись |
в межах |
від |
до |
|
кг; 2) відхилятись від |
|||||
проектної маси по абсолютній величині менше ніж на |
кг. |
|||||||||
Варіант |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
200 |
3 |
|
|
195 |
|
208 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
400 |
8 |
|
|
390 |
|
420 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
600 |
10 |
|
|
580 |
|
615 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1000 |
15 |
|
|
980 |
|
1030 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1000 |
20 |
|
|
950 |
|
1030 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
800 |
10 |
|
|
785 |
|
820 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
600 |
12 |
|
|
585 |
|
620 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
400 |
15 |
|
|
390 |
|
420 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
800 |
12 |
|
|
780 |
|
825 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
1000 |
25 |
|
|
960 |
|
1050 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
200 |
4 |
|
|
194 |
|
210 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
400 |
6 |
|
|
392 |
|
416 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
600 |
9 |
|
|
585 |
|
620 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
800 |
14 |
|
|
776 |
|
820 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
1000 |
20 |
|
|
975 |
|
1032 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
200 |
5 |
|
|
193 |
|
212 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
400 |
6 |
|
|
392 |
|
417 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
Варіант |
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
18 |
600 |
14 |
576 |
622 |
18 |
|
|
|
|
|
|
19 |
800 |
16 |
782 |
825 |
24 |
|
|
|
|
|
|
20 |
1000 |
24 |
964 |
1040 |
28 |
|
|
|
|
|
|
21 |
200 |
5 |
192 |
208 |
8 |
|
|
|
|
|
|
22 |
400 |
9 |
388 |
410 |
6 |
|
|
|
|
|
|
23 |
600 |
8 |
588 |
618 |
14 |
|
|
|
|
|
|
24 |
800 |
11 |
788 |
820 |
18 |
|
|
|
|
|
|
25 |
1000 |
16 |
988 |
1036 |
20 |
|
|
|
|
|
|
26 |
800 |
12 |
785 |
828 |
22 |
|
|
|
|
|
|
27 |
600 |
9 |
584 |
620 |
16 |
|
|
|
|
|
|
28 |
400 |
6 |
388 |
416 |
10 |
|
|
|
|
|
|
29 |
800 |
12 |
785 |
817 |
15 |
|
|
|
|
|
|
30 |
1000 |
26 |
972 |
1038 |
30 |
|
|
|
|
|
|
113
4. Змістовий модуль №3 “Основи математичної статистики”
4. 1 Методичні поради до вивчення змістового модуля №3 “Основи математичної статистики”
Після вивчення теоретичного матеріалу змістового модуля №3 потрібно відповісти на питання для самоперевірки. Сприятиме засвоєнню матеріалу виконання навчального варіанту та індиві дуального завдання на тему “Основи математичної статистики”.
4.2 Теоретичні питання до змістового модуля №3 “Основи математичної статистики”
1.Генеральна сукупність і вибірка. Репрезентативність вибірки. Задачі математичної статистики.
2.Групування вибіркових даних. Емпіричні ряди розподілу, їх графічне зображення.
3.Числові характеристики одномірної вибірки (вибіркові середні, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення).
4.Статистичні оцінки параметрів розподілу. Вимоги до статистичних оцінок. Точкові оцінки. Інтервальні оцінки. Надійний інтервал. Знаходження надійного інтервалу для математичного сподівання.
5.Статистичні гіпотези. Перевірка статистичних гіпотез. Поняття про критерії узгодження. Критерій Пірсона.
6.Елементи теорії кореляції. Системи випадкових величин. Функція і щільність розподілу. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції.
114
7.Регресія. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Емпірична лінія регресії і вибіркове рівняння прямої регресії.
Література [3], т. 2, Гл. XX ; M. 085111, cтор. 3644.
4.3Питання для самоперевірки
1.Що вивчає математична статистика?
2.Що таке вибірка і генеральна сукупність?
3.Які значення називаються варіантами?
4.Що таке варіаційний ряд?
5.Дайте означення частоти і відносної частоти варіанти.
6.Дайте означення статистичного ряду.
7.Як записується статистичний ряд для неперервного розподілу?
7.Яка функція називається емпіричною функцією розподілу?
8.Як будується полігон частот?
9.Як будується гістограма частот для неперервних розподілів?
10.Розкажіть про точкові статистичні оцінки параметрів розподілу.
11.Розкажіть про інтервальні статистичні оцінки параметрів розподілу.
12.Що таке надійність оцінки параметра a ?
13.Дайте означення надійного інтервалу.
14.Як оцінюється математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої величини?
15.Яка гіпотеза називається статистичною?
16.В чому полягає задача перевірки статистичної гіпотези?
17.Що таке критерії згоди?
18.Розкажіть про критерій Пірсона.
19.Яка залежність випадкових величин називається статистич ною?
20.Яка статистична залежність називається кореляційною?
115
21.Які числові характеристики двомірної вибірки Вам відомі?
22.Запишіть вибіркове рівняння прямої лінії регресії.
23.Назвіть властивості вибіркового коефіцієнту кореляції.
4.4Короткі теоретичні відомості. Довідковий матеріал [3,4]
Математична статистика розглядає математичні методи систе матизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків. Її теоретичною основою є теорія ймовірностей. Зв'язок між ними грунтується на законах великих
чисел. |
|
|
|
|
Вибіркою |
об'єму n для даної випадкової |
величини X |
||
називається |
послідовність |
x1 , x2 , x3 ,... , xn |
n |
незалежних |
спостережень цієї величини. |
Величина X , з якої |
проводиться |
||
вибірка, називається генеральною сукупністю. |
|
|
||
Значення |
x1 , x2 , x3 ,... , xn |
називаються |
|
вибірковими |
значеннями або варіантами. Послідовність таких варіант, записаних у зростаючому порядку називається варіаційним рядом.
Число, що вказує, скільки разів спостерігалась дана варіанта серед результатів вибірки, називається частотою варіанти, а відношення частоти до об'єму вибірки називається відносною частотою.
Статистичним рядом розподілу називається таблиця, яка містить варіаційний ряд і відповідні частоти або відносні частоти членів цього ряду.
У випадку неперервного розподілу випадкової величини Х статистичний ряд розподілу є таблиця, в якій записано інтервали значень величини Х , розміщені у порядку зростання цієї величи ни, і відповідні їм частоти або відносні частоти.
Емпіричною функцією розподілу називають функцію F* x ,
яка для |
кожного значення x визначає відносну частоту події |
X x |
: |
116
F* x = |
nx |
, |
|
n |
|||
|
|
||
де n x число варіант, менших |
x , n — об'єм вибірки. |
||
Властивості емпіричної функції розподілу:
1)Значення емпіричної функції розподілу належать відрізку [0;1].
2)F* x — неспадна функція.
3) Якщо |
|
xmin |
|
найменша варіанта, |
а xmax |
найбільша |
|||||||||
варіанта, то |
F* x =0 при |
x≤ xmin |
і |
F* x =1 |
при . |
||||||||||
x xmax . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приклад. Знайти емпіричну функцію розподілу по вказаному |
|||||||||||||||
розподілу вибірки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
10 |
|
40 |
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Розв'язання. Об'єм вибірки: n=10 + 40 + 50 = 100. |
|
|
|
||||||||||||
Найменша варіанта |
xmin=2 |
, тому |
F* x =0 |
при |
x≤2 . |
||||||||||
Значення |
X 4 |
спостерігалось 10 разів, отже |
|
|
|
||||||||||
F* x = |
|
10 |
=0,1 |
|
при |
2 X ≤4 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значення |
X 8 |
спостерігалось 10 +40 = 50 разів, отже |
|||||||||||||
F* x = |
|
50 |
=0,5 |
|
при |
4 X ≤8 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найбільша варіанта |
xmax =8 |
, тому |
F* x =1 |
при |
x 8 . |
||||||||||
117
Емпірична функція розподілу:
|
|
0 |
при x 2 ; |
* |
|
0,1 |
при2 x 4 ; |
F |
x ={10,5 |
припри 4x 8.x≤8 ; |
|
Графік функції F* x |
має вид: |
||
1 |
F* x |
|
0,5
0,1 |
|
|
|
2 |
4 |
8 |
x |
Полігон і гістограма
Для графічного зображення статистичного ряду розподілу диск ретної випадкової величини Х використовують полігон, а непе рервної величини Х — гістограму.
Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з'єднують точки xi , ni , де xi — варіанти вибірки, а ni — відповідні їм частоти.
118
Гістограмою називають фігуру, що складається з прямокутників, основами яких служать довжина інтервалів h, а висотами відношення відповідних частот або відносних частот до довжини інтервалу.
У випадку великого об'єму вибірки на її основі робиться групуван ня: весь інтервал розбивається на часткові інтервали
ai ;bi , i=1,... , k . Число інтервалів k знаходиться за емпіричною формулою:
k ≥1 3,22 lg n , де n — об'єм вибірки.
Довжина інтервалу h визначається за формулою:
h≈
Початок першого інтервалу:
x max− xmin .
k −1
1
a1≈x min−2 h .
При округленні вказаних величин необхідно |
слідкувати, щоб |
|||
xmin |
потрапив до першого інтервалу, а xmax |
— до остан |
||
нього. |
|
|
|
|
Кінець |
першого інтервалу: |
b1=a1 h. |
Для |
наступних |
інтервалів: |
|
|
|
|
|
ai 1=ai h=a1 i h; |
bi 1=ai 1 h , |
i=1, ... , k −1 , |
|
причому кінець попереднього інтервалу є початком наступного. Після цього підраховується кількість значень випадкової
величини, що потрапила в кожний інтервал, знаходяться середини
інтервалів |
xi= |
ai bi |
і складається відповідна таблиця— |
|
|||
|
2 |
|
|
емпіричний ряд розподілу. Для його графічного зображення будують полігон і гістограму.
119
Статистичні оцінки параметрів розподілу
Точні значення параметрів розподілу неможливо визначити ні при якому об'ємі вибірки. В результаті обробки статистичних даних можливо знайти тільки наближене значення невідомого параметру, яке називається оцінкою невідомого параметру.
Оцінки бувають точкові та інтервальні.
Точковою називають оцінку, яка визначається одним числом.
Незміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої при будьякому об'ємі вибірки дорівнює параметру, що оцінюється.
Ефективною називають оцінку, яка при даному об'ємі вибірки має найменшу дисперсію.
Незміщеною оцінкою генеральної середньої є вибіркова середня:
|
1 |
k |
|
|
|
|
x= |
∑ ni xi , де: |
xi |
— варіанта вибірки; |
ni — її |
||
n |
||||||
|
i=1 |
|
|
|
||
частота; |
n — об'єм вибірки, |
k — число інтервалів. |
||||
Вибіркова дисперсія і вибіркове середнє квадратичне відхилення:
|
|
1 |
k |
в= |
|
|
|
Dв |
= |
∑ ni xi −x 2 , |
Dв |
. |
|||
n |
|||||||
|
|
i =1 |
|
|
|
Вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою для генеральної дисперсії. Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є виправлена вибіркова дисперсія:
s2 = |
n |
D |
. |
|
|
|
|||
|
n−1 |
в |
|
|
|
|
|
||
Для оцінки середнього квадратичного відхилення використовується виправлена дисперсія:
120