Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

§1.7. Власні числа та власні вектора

1.6.1. Теоретичні відомості

квадратної матриці А n го порядку, що відповідає власному значенню

, якщо він задовольняє матричному рівнянню АX = X, або (А –

Е)X = 0.

Тут Е — одинична матриця n+го порядку, а О — нульовий век+ тор+стовпчик. При умові, що X 0, одержуємо характеристичне рівняння для визначення власних значень :

Власний вектор визначається з точністю до постійного множника.

1.7.2. Розв’язання прикладів

Приклад 1.90. Визначити власні значення і власні вектори матриці

5 8

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Розв’язок. Характеристичне рівняння даної матриці має вид (1.24):

звідки випливає, що матриця А має два власних значення 1 = 4 і

яке зводиться до одного рівняння х1 = 2х2.

Поклавши х2 = t, одержуємо розв’язок у вигляді х1 = 2t, х2 = t. Отже, перший власний вектор є

2 X1 = 1 t.

Другий вектор X2, що відповідає власному значенню 2 = –1, визначається з системи рівнянь виду (1.25)

(1 1)x1 6x2 0

x1 (2 1)x2 0 .

Ця система рівнянь також зводиться до одного рівняння х1 + 3х2 = 0; поклавши х2 = С, запишемо її розв’язок у вигляді х1 = –3С, х2 = С. Отже, другий власний вектор є

3 X2 = 1 С.

Таким чином, матриця А має два різних власних значення 1 = 4

точністю до постійного множника).

5 9

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Приклад 1.91. Знайти власні вектори і власні значення матриці

Розкривши визначник отримаємо:

(1 – )[(2 – )2 – 1] = 0, (1 – )(1 – )(3 – ) = 0, (1 – )2(3 – ) = 0,

1 = 2 = 1, 3 = 3.

Корінь 1 = 1 — кратний, показник кратності r = 2, корінь

3 = 3 — простий, r = 2.

Система рівнянь для визначення власних векторів має вигляд:

Послідовно підставимо 1 і 3 в записану систему: 1) 1 = 1, r = 2:

6 0

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Фундаментальна система розв’язків одержується, якщо вільним змінним х2, х3 послідовно надати значення х2 = 1, х3 = 0; х2 = 0, х3 = 1:

Одержали два лінійно незалежні власні вектори. Уся сукупність векторів, що відповідають власному значенню 1 = 1 має вигляд:

2) 2 = 3, r = 1:

Фундаментальна система розв’язків одержується, якщо покласти

х3 = 1:

6 1

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

1.7.3. Завдання для самостійної роботи

Знайти власні вектори і власні значення матриці А:

1.98. Знаючи характеристичні числа матриці А, знайти характе+ ристичні числа матриці А–1.

6 2