Стратегия Стакельберга.

Предположим, что одна из фирм сознатель­но раскроет свою стратегию. Пусть, например, первая фирма даст воз­можность второй узнать свой ход х₁, тогда вторая фирма ответит опти­мальным для нее образом: х₂* =(d-x₁)/2. Первая фирма будет теперь дей­ствовать, исходя именно из такого поведения второй фирмы. Но, прежде чем довести до сведения второй фирмы свой ход, первая просчи­тает этот свой ход, исходя из максимизации прибыли:

W₁(x₁)=bx₁(d-x₁-(d-x₁)/2)=bx₁(d-x₁)/2,

дW₁/дx₁=b(d-2х₁)/2=0→х₁^s=d/2, откуда и получаем так называемую точку Стакельберга х₁^s = d/2, x₂ ^s =d/4. Прибыли фирм при этом равны W₁^s=bd²/8 >W₁^к , W₂^s=bd²/16<W₂^k, суммарная прибыль W^s=3bd₂/16<2bd²/9=W^к, т.е. прибыли первой фирмы больше, а прибыли второй и суммарная прибыль меньше, чем в точке Курно; цена товара равна p^s=c-3bd/4<p^k, и она меньше чем в точке Курно.

Выпуски Фирм xi		Себестоимость Выпуска ai		Характеристики рынка
1	2	1	2	с	b
6	3	5	4	64	5

d=(c-a)/b=60/5=12Точка Стакельберга: х₁^s=d/2,x₂^s=d/4х₁^s = 6, x₂ ^s =3.

Прибыли фирм: W₁^s = 5*12²/8 = 90 > 80, W₂^s = 5*12²/16 = 45 < 80

Цена товара: p^s = 64 — 3*5*12/4=19 <24

Объединение двух фирм.

Пусть теперь фирмы объединятся (тем самым они образуют монополию своего товара на рынке), тогда суммарная прибыль равна W(x)=bx(d-x), максимум прибыли достигается при выпуске х*= d/2 < x^к = 2d/3 < x^s = 3d/4, х*=6 < 8 < 9 , при этом прибыль и цена товара равны: W* = b*d²/4=180, p* = c — bd/2 > p^к > р^s p* = 64 — 5*12/2= 34 > 24 > 19

Результаты исследования сведены таблицу.

	X1	X2	X	W1	W2	W	P
Точка Курно	4	4	8	80	80	160	24
Точка Стакельберга	6	3	9	90	45	135	19
Монополия			6			180	34

Для потребителя наиболее предпочтительна точка Стакельберга, в которой цена товара самая низкая, а объем выпуска наибольший, а менее всего благоприятна ситуация монополии или картеля, в которой цена това­ра наивысшая, выпуск самый малый, зато суммарная прибыль фирм самая большая.

3.2. Кооперативная биматричная игра как модель сотрудниче­ства и конкуренции двух участников.

Математической моделью конфликтов с двумя участниками являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей (a_ij,b_ij) . В кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы.

Если они выбрали элемент (a,b), то Первый игрок получает a, а Второй получает b . На этом партия игры закончилась. В следующей игре выбор игроков может быть другим. Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть CE - выпуклая оболочка множества точек (a_ij,b_ij), тогда любая точка CE есть выпуклая линейная комбинация этих точек, т.е. представляется как сумма

p₁₁*(a₁₁,b₁₁)+...+p₂₂*(a₂₂,b₂₂),

где p₁₁,...p₂₂- неотрицательные числа, сумма которых равна 1, т.е. вероятности. Пусть (x,y), (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x≥a, y≥b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето.

Это множество есть северо-восточная граница множества CE. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть V_k - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек

множества Парето, у которых k-я координата не меньше V_k. Для

нахождения V_kнадо решить 2 задачи ЛП:

V₁→max, a₁₁*х + a₁₂*(1 — х) ≥ V₁,

a₁₂*х +a₂₂*(1 — х) ≥V₁ , 0 ≤ х ≤ 1.

V₂→max, a₁₁*y + a₁₂*(1 — y) ≥V₂,

a₁₂*y + a₂₂*(1 — y) ≥ V₂, 0 ≤ y ≤ 1.

Исходные данные:

Для исходных данных имеем:

1. для первого игрока:

Стратегия 1-го игрока (0,6; 0,4)

2. для второго игрока:

Стратегия 2-го игрока (0,5; 0,5)

Переговорное множество на рисунке — ломаная NCM.