2.1. Принятие решения в условиях неопределенности.

Предположим , что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения ) рассматривает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке не определенная, она может быть одна из четырех. С помощью экспертов ЛПР составляет матрицу последствий или доходов Q . Элемент этой матрицы q_i,j показывает доход , получаемый ЛПР, если им принято i-ое решение, а ситуация j-ая. В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые соображения и том, какое решение принять. Сначала матрицу рисков.

Строится эта матрица так: в каждом столбце матрицы находится максимальный элемент d _j , после чего элементы r_ij = d_j- q_ij и образует матрицу рисков, смысл рисков таков: если бы ЛПР знал , что в реальности имеет место j-ая ситуация, то выбрал бы решение с наибольшим доходом, но он не знает, поэтому, принимая i-ое решение он рискует недобрать d_j — q_i,_j – что и есть риск. Матрица R = r_ij называется матрицей рисков.

Матрица доходов

Матрица рисков

Правило Вальда называют правилом крайнего пессимизма: ЛПР уверен , что какое бы решение он ни принял, ситуация сложится для него самая плохая, так, что принимая i-ое решение, он получит минимальный доход :

q_i =min q_ij : j=1, ... ,4. , но теперь из чисел q_i ЛПР выбирает максимальное и принимает соответствующее решение.

По правилу Сэвиджа находят в каждой строке матрицы рисков максимальный элемент r_i и затем из чисел r_i находят минимальное и принимают соответствующее решение. Так принимает решение ЛПР, не любящий рисковать.

По правилу Гурвица для каждой строки матрицы доход находят величину

zi =a*max{q_ij: j=1, ... 4}+(1-a)*min{q_ij: j=1, ... 4} , потом находят из чисел z_i наибольшее и принимают соответствующее решение. Число а каждый ЛПР выбирает индивидуально – оно отображает его отношение к доходу и риску, при приближении а к 0 правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении к 1 – правилу розового оптимизма , а в нашем случае а равно 1/2.

Предположим , что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения ) рассматривает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке не определенная, она может быть одна из четырех. Однако известны вероятности этих ситуаций p_j. Имея матрицу доходов Q теперь можно сказать, что доход от i-го решения есть с.в. Q_i с доходами q_ij и вероятностями этих доход p_j. Кроме того, риск i-го решения есть также с.в. R_i с рисками r_{i j} и вероятностями этих рисков p_j. Математическое ожидание с.в. Q_i и R_i называют также средним ожидаемым доходом и средним ожидаемым риском i-го решения. Теперь можно принять решение (провести операцию), у которого наибольший средний ожидаемый доход и наименьший средний ожидаемый риск.

Матрица доходов	Доход	Средний ожидаемый риск	Матрица рисков
вероятности ситуаций (x/xx)			вероятности ситуаций

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и средние ожидаемые риски R на плоскость - доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см.рис.).

QQ₂

Q₄

Q₁

Q₃

R

Получили 4 точки. Чем выше точка (Q,R), тем более доходная операция, чем точка правее - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка (Q',R’) доминирует точку {Q,R), если Q' ≥ Q и R' ≥ R и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 2-я операция доминирует все остальные. Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето. В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 3-й операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, R) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f(Q)=2Q - R. Тогда получаем: f(Q₁)= 3, f(Q₂)= 33, f(Q₃)= -12, f(Q₄)= 27. Видно, что 2-я операция — лучшая, а 3-я — худшая.

Иногда в условиях полной неопределенности применяют правило Лапласа равновозможности, когда все вероятности р_j считают равными.

Матрица доходов	Доход	Средний ожидаемый риск	Матрица рисков
вероятности ситуаций (x/xx)			вероятности ситуаций

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и средние ожидаемые риски R на плоскость - доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см.рис.).

QQ₄

Q₂

Q₁

Q₃

R

В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 3-й операции. f(Q₁)= -2, f(Q₂)= 25, f(Q₃)= -14, f(Q₄)= 26,5. Видно, что 4-я операция — лучшая, а 3-я — худшая.

После этого можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных выше правил-рекомендаций принятия решений.

Для уточнения распределения вероятностей можно провести пробную операцию. После ее проведения вероятности состояний, характеристики операций и оптимальное решение могут стать совершенно иными.

В рамочках переменные первоначальной характеристики, жирным курсивом — после проведения пробной операции.

Первоначальные вероятности и характеристики операции
вероятности ситуаций	доход		средний ожидаемый риск		вероятности ситуаций
	до пробной операции
матрица доходов					матрица рисков
	8 18 3 16	12 25,2 6,6 36	24 10,8 29,4 0	13 3 18 5
0.1 0.0 0.0 0.9	после операции				0.1 0.0 0.0 0.9
вероятности ситуаций					вероятности ситуаций
Вероятности и характеристики операции после пробной операции