1.3. Задача о «расшивке узких мест».

СБ	Б	Н	36	30	16	12	0	0	0
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
30	Х2	16	0	1	-2/15	7/15	1/5	-2/15	0
36	Х1	25	1	0	2/3	1/6	0	1/6	0
0	Х7	28	0	0	104/15	26/15	-7/5	14/15	1
	Р	1380	0	0	4	8	6	2	0

При выполнении оптимальной производственной программы первый и второй ресурсы используются полностью, тем самым они образуют "узкие места" производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T = (t₁,t₂, 0) — вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие H + Q^–1 = 0 или H– Q^–1T, где H — значения базисных переменных в последней симплексной таблице, а Q^–1 — обращенный базис, который образуют столбцы при балансовых переменных в этой таблице. Задача состоит в том, чтобы найти вектор T , максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 6t₁ + 2t₂ (1) при условии, сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно ассортимента выпускаемой продукции),

(2)

предполагая, что можно получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурсов каждого вида.

(3)

причем по смыслу задачи t₁ ≥ 0, t₃ ≥ 0 (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

—1/5t₁ + 2/15t₂ ≤ 16

0t₁ — 1/6t₂ ≤ 25 (5)

7/5t₁ — 14/15t₂ ≤ 28

(6)

приходим к задаче ЯП; максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис.. Программа "расшивки" имеет видt₁= 53¹/₃ , t₂= 50,t₃= 0, а прирост прибыли составил maxW = 420.

Сводка результатов приведена в таблице 1.

Таблица 1.

ci	36	30	16	12	b	x4+i	yi	ti
aij	4	5	2	3	180	0	6	53 1/3
	6	0	4	1	150	0	2	50
	0	7	6	5	140	28	0	0
xj	25	16	0	0	1380			420
Δj	0	0	4	8

1.4.Задача о комплектном плане.

Предположим, что в линейной производственной задаче продукция производится комплектно: 4-го вида продукции необходимо произвести в 5 раза больше, чем 2-го, а 1-го столько в 2 раза больше чем 3-го. Таким образом, имеем: х₃ = 2х₁, х₄ = 5х₂. Подставим эти выражения в задачу из пункта 1.1 и получим задачу ЛП с двумя переменными:

Исходная задача ЛП:	Задача ЛП с двумя переменными:
P(x1, x2, x3, x4) = 36x1 + 30х2 + 16x3 + 12x4  max (4) 4x1 + 5х2 + 2x3 + 3x4  180 6x1 + 0х2 + 4x3 + x4  150 (5) 0x1 + 7х2 + 6x3 + 5x4  140 x1 — 4  0	Р = 68х1+90х2 max, 8x1 + 20х2  180 (1) 14x1 + 5х2  150 (2) 12x1 + 32х2  140 (3) x1,x2 0

Будем решать задачу графически: исходя из ограничений, построим допустимое множество задачи (пересечение 3-х полуплоскостей, выпуклый многоугольник), затем построим линию уровня целевой функции и будем двигать ее параллельно, стараясь уловить последнюю точку пересечения линии с допустимым множеством.

Искомая точка А находится как решение системы:

14x₁ + 5х₂ = 150

12x₁ + 32х₂ = 140 х₁=10,57, х₂=0,41

Максимальное значение целевой функции примерно равно 755,67.