- •Государственный университет управления
- •1.1 Линейная производственная задача.
- •1.2 Двойственная задача линейного программирования.
- •1.3. Задача о «расшивке узких мест».
- •1.4.Задача о комплектном плане.
- •1.5 Оптимальное распределения ресурсов.
- •2.1. Принятие решения в условиях неопределенности.
- •2.2. Анализ доходности и рискованности финансовой операции.
- •2.3. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
- •2.4 Статистический анализ денежных потоков.
- •§3. Модели сотрудничества и конкуренции.
- •3.1. Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара. Независимое поведение двух фирм
- •Стратегия Курно
- •Стратегия Стакельберга.
- •Объединение двух фирм.
- •3.2. Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и конкуренции двух участников.
- •3.3 Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.
- •§.4. Социально-экономическая структура общества
- •4.1. Модель распределение богатства в обществе
- •4.2.Распределение общества по получаемому доходу
- •Литература:
1.2 Двойственная задача линейного программирования.
В данной задаче требуется оценить единицу каждого вида ресурса. Эта задача является двойственной задаче, решенной в пункте 1.1.
Задача, двойственная исходной строится следующим образом:
меняется тип экстремума целевой функции
коэффициенты целевой функции одной задачи становятся свободными членами другой задачи
свободные члены одной задачи становятся коэффициентами целевой функции другой задачи
тип неравенства меняется
каждый столбец одной задачи порождает строку ограничений другой и наоборот
-
Исходная задача ЛП:
Двойственная задача ЛП:
P(x1, x2, x3, x4) = 45x1 + 33х2 + 30x3 + 42x4 max (4)
4x1 + 5х2 + 2x3 + 3x4 180
6x1 + 0х2 + 4x3 + x4 150 (5)
0x1 + 7х2 + 6x3 + 5x4 140
x1 — 4 0
S(у1, у2, у3) = 180y1 +150y2 +140y3 min
4y1+6y2+0y3 36
5y1+0y2+7y3 30
2y1+4y2+6y3 16
3y1+1y2+5y3 12
y1,y2,y30
Требуется найти вектор двойственных оценок (y1,y2,y3),
Минимизирующий общую оценку всех ресурсов
S = 180y1 +150y2 + 140y3 min
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции
4y1+6y2+0y3 36
5y1+0y2+7y3 30
2y1+4y2+6y3 16
3y1+1y2+5y3 12
y1,y2,y30
Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой, который содержится в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи:
|
|
Р |
900 |
0 |
-30 |
8 |
-6 |
0 |
6 |
0 |
|
|
30 |
Х2 |
16 |
0 |
1 |
-2/15 |
7/15 |
1/5 |
-2/15 |
0 |
|
|
36 |
Х1 |
25 |
1 |
0 |
2/3 |
1/6 |
0 |
1/6 |
0 |
|
|
0 |
Х7 |
28 |
0 |
0 |
104/15 |
26/15 |
-7/5 |
14/15 |
1 |
|
|
|
Р |
1380 |
0 |
0 |
4 |
8 |
6 |
2 |
0 |
|
y1 = 6, y2 = 2, y3 = 0.
общая оценка всех ресурсов равна 1380.
Решение полученной задачи также можно найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х{х1,х2,х3,х4} и у{у1,у2,у3} пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий
X1(4y1+6y2+0y3–36) =0
X2(5y1+0y2+7y3–30) =0
X3(2y1+4y2+6y3 –16) =0
X4(3y1+1y2+5y3–12) =0
Y1(4x1 + 5х2 + 2x3 + 3x4 –180) =0
Y2(6x1 + 0х2 + 4x3 + x4 –150 )=0
Y3(0x1 + 7х2 + 6x3 + 5x4 –140 )=0
Ранее было найдено, что в решении исходной задачи x1 > 0,x2 > 0. Поэтому
4y1+6y2+0y3= 36
5y1+0y2+7y3= 30
Если же учесть, что третий ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у3 = 0, то приходим к системе уравнения 5y1=30
6y2 =12, откуда следует y1= 6, y2=2.
Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов: у1 = 6, y2 = 2, y3 = 0,
причем общая оценка всех ресурсов равна 1380.