2.2. Анализ доходности и рискованности финансовых операций

Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина . Средний ожидаемый доход– это математическое ожидание с.в.:, гдеесть вероятность получить доход. А среднее квадратическое отклонение (СКО)– это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считатьколичественной мерой риска операции и обозначать. Таким образом, здесь предлагается новый количественный измеритель риска операции. В финансовой математике этот измеритель считается основным. Напомним, что дисперсия с.в..

Рассмотрим четыре операции . Найдем средние ожидаемые доходыи рискиопераций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

Q1:	-6	-2	4	8
	1/4	1/4	1/4	1/4

Q2:	0	8	10	40
	1/2	1/4	1/5	1/20

Q3:	-6	-2	-1	14
	1/20	1/4	1/5	1/2

Q4:	0	8	10	40
	1/2	1/5	1/4	1/20

Напомним, как находить и:

Нанесем средние ожидаемые доходы и рискина плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точкадоминирует точку, еслиии хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае3-я операция доминирует 2-ую, а 1-ую, 3-ю и 4-ую операции сравнивать нельзя, т.к. при переходе от первой операции к 4-ой с ростом риска растет доход. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по Парето.

Пусть Q₁иQ₂две финансовые операции с эффективностямиe₁,e₂и рискамиr₁,r₂соответственно. Пустьt– какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операцияQ_t=(1-t)Q₁+tQ₂называется линейной комбинацией операцийQ₁,Q₂. При движении от 0 к 1 операцияQ_tизменяется отQ₁доQ₂. Эффективность операцииQ_tравна(1-t)e₁+te₂, с риском же дело обстоит сложнее. Рассмотрим только случай некоррелированных операцийQ₁,Q₂, тогда дисперсия операцииQ_tравна(1-t)²∙D₁+t²∙D₂, гдеD₁,D₂– дисперсии операций, значит риск операцииQ_tесть.

Пусть Q₁иQ₂две финансовые операции с эффективностями 5 и 70 и рисками 7 и 80 соответственно. Составим операциюQ_t, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся:

1. Эффективность операции Q_tравнаe_t=(1-t)∙5+t∙70=5+65t; (1)

2. Риск операции Q_tесть.

Вычислим, при каком операцияQ_t более хорошая, чем какая-либо из имеющихся. Как видно из(1) при любомэффективность операцииQ_tбольше 5, следовательно, найдем, при котором риск операцииQ_tменьше либо равен 7. Для этого решим неравенство:,. Получим:. Примером операции Q_t может служить:Q_t=0,985Q₁+0,015Q_2. Эффективность такой операции будет равнаe_t=5,975,риск при этом составитr_t≈6,999.

Для большей достоверности можно применить подходящую взвешивающую формулу. Например, пусть взвешивающая формула есть прежняя . Тогда получаем:Видно, что 3-я операция – лучшая, а 1-ая – худшая.