1.4. Задача о комплектном плане

Задачу ЛП с двумя переменными можно решить графически. Возьмем на плоскости систему координат: ось OX₁направим горизонтально и вправо, осьOX₂– вертикально и вверх. Каждое ограничение задачи, раз оно линейное нестрогое неравенство, графически изображается полуплоскостью, граничная прямая которой соответствует уже не неравенству, а равенству. Допустимое множество задачи является пересечением всех этих полуплоскостей и есть выпуклый многоугольник.

Вторая из двух основных теорем ЛП гласит: Если экстремум целевой функции достигается на допустимом множестве, то функция принимает его в какой-то вершине многоугольника – допустимого множества. Исходя из этой теоремы, найти искомый экстремум можно просто перебрав вершины многоугольника и определив ту, в которой значение функции экстремально. Чаще делают по-другому: строят линию уровня целевой функции и двигают ее параллельно в направлении экстремума, стараясь уловить последнюю точку пересечения линии с допустимым множеством. Зададим задачу ЛП с тремя ограничениями и четырьмя переменными, затем зададим выражения x₃иx₄черезx₁иx₂. Теперь переменных осталось две и задача может быть решена графически.

36	14	25	50
4	3	4	5	208
2	5	2	2	99
3	1	2	5	181

Предположим, что в линейной производственной задаче продукция производится комплектно: продукции 3-го вида надо произвести в 2 раза больше, чем 1-го, а 4-го столько же, сколько и 2-го вида продукции. Т.е. имеем соотношенияx₃=2x₁ иx₄=x₂.

86	64
12	8	208
6	7	99
7	6	181

P=86x₁+64x₂→max

12x₁+8x₂≤208 (1)

6x₁+7x₂≤99 (2)

7x₁+6x₂≤181 (3)

Искомая точка находится как решение системы:

Ответ: x₁=16,5; x₂=0; maxP=1419.

1.5. Оптимальное распределение инвестиций

Эта задача решается с помощью динамического программирования.

Динамическое программирование – это вычислительный метод для ре­шения задач управления определенной структуры. Данная задача с nпере­менными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной пере­менной.

Знакомство с методом динамического программирования проще всего начать с рассмотрения нелинейной задачи распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли. Для определенности можно считать, что речь идет о распределении капиталь­ных вложений (инвестиций).

Предположим, что указано nпунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделеноbрублей. Обозначим черезf_i(x_i)прирост мощности или прибыли наj-мпредприятии, если оно получитx_iрублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение(x₁,x₂,...,x_n)капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибылиz=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n),при ограничении по общей сумме капитальных вложенийx₁+x₂+...+x_n=b,причем будем считать, что все переменныеx_jпринимают только целые не­отрицательные значенияx_j=0, или 1, или 2, или 3, ...

Функции f_j(x_j)мы считаем заданными, заметив, что их определение – довольно трудоемкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для реше­ния этой задачи. Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За пара­метр состоянияξпримем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состоянияF_k(ξ)определим как максимальную прибыль на первыхkпредприятиях, если они вместе получаютξрублей. Параметр ξ может изменяться от0до b. Если изξрублей k-оепредприятие получитx_kрублей, то каково бы ни было это значение, остальныеξ-x_kрублей естественно распределить между предприятиями от первого до(k-1)-готак, чтобы была получена максимальная прибыль F_k-1(ξ-x_k). Тогда прибыльkпредприятий будет равна f_k(x_k)+F_k-1(ξ-x_k). Надо выбрать такое значениеx_kмежду0и ξ, чтобы эта сумма была максимальной, и мы при­ходим к рекуррентному соотношению:

F_k(ξ)=max{f_k(x_k)+F_k-1(ξ-x_k)}

0≤x_k≤ ξ

для k=2,3,4,...,n. Если же k=1, то F₁(ξ)=f₁(ξ). (при условии, что функция f₁ возрастающая).

Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-йфирме инвестиций в размереm(сотен тыс. рублей) выражается функциейf_i(m). Приходим к задаче:

f₁(x₁)+f₂(x₂)+f₃(x₃)+f₄(x₄)→max,

x₁+x₂+x₃+x₄≤7,

x₁, x₂, x₃, x₄≥0,

где x_i– пока еще неизвестный размер инвестицийi-йфирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение дляk=2,3 и 4фирм. Пусть первым двум фирмам выделеноmинвестиций, обозначимz₂(m)величину инвестиций 2-й фирме, при которой суммаf₂(z₂(j))+f₁(m-z₂(100j)),0≤j≤mмаксимальна, саму эту максимальную величину обозначимF₂(m). Далее действуем также: находим функцииz₃иF₃и т.д. Наk-омшаге для нахожденияF_k(m))используем основное рекуррентное соотношение:F_k(m)=max{f_k(j)+F_k-1(m-100j):0<=j<=7}.

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x1)	0	6	13	20	27	33	38	41
f2(x2)	0	24	36	42	46	48	49	49
f3(x3)	0	25	41	52	57	59	57	53
f4(x4)	0	18	28	37	45	51	56	59

Прежде всего, заполняем таблицу №1. Значения f₂(x₂) складываем со значениямиF₁(ξ-x₂)=f₁(ξ-x₂) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем и указываем соответствующее значение=100*z₂.

Таблица №1

	ξ-x2	0	100	200	300	400	500	600	700
x2		0	6	13	20	27	33	38	41
0	0	0	6	13	20	27	33	38	41
100	24	24	30	37	44	51	57	62
200	36	36	42	49	56	63	69
300	42	42	48	55	62	69
400	46	46	52	59	66
500	48	48	54	61
600	49	49	55
700	49	49

Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 2 предприятиям.

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(ξ)	0	24	36	42	49	56	63	69
z2	0	1	2	2	2	2	2	2

Таблица №2

	ξ-x3	0	100	200	300	400	500	600	700
x3		0	24	36	42	49	56	63	69
0	0	0	24	36	42	49	56	63	69
100	25	25	49	61	67	74	81	88
200	41	41	65	77	83	90	97
300	52	52	76	88	94	101
400	57	57	81	93	99
500	59	59	83	95
600	57	57	81
700	53	53

Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 3 предприятиям.

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(ξ)	0	25	49	65	77	88	94	101
z3	0	1	1	2	2	3	3	3

Таблица №3

	ξ-x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4		0	25	49	65	77	88	94	101
0	0	0	25	49	65	77	88	94	101
100	18	18	43	67	83	95	106	112
200	28	28	53	77	93	105	116
300	37	37	62	86	102	114
400	45	45	70	94	110
500	51	51	76	100
600	56	56	81
700	59	59

Красным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 4предприятиям.

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
F4(ξ)	0	25	49	67	83	95	106	116
z4	0	0	0	1	1	1	1	2

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F₄(700)=116показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, аz₄(700)=200– размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирм осталось(700-200)и для достижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить300и т.д. Красным отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам (z_i)и значения эффектов от них (F_i(ξ)).

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
F1(ξ)	0	6	13	20	27	33	38	41
z1	0	1	2	3	4	5	6	7

F2(ξ)	0	24	36	42	49	56	63	69
z2	0	1	2	2	2	2	2	2

F3(ξ)	0	25	49	65	77	88	94	101
z3	0	1	1	2	2	3	3	3

F4(ξ)	0	25	49	67	83	95	106	116
z4	0	0	0	1	1	1	1	2