1.2. Двойственная задача линейного программирования

Задача линейного оптимального планирования – исходная в своей паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:

1. меняется тип экстремума целевой функции (maxнаminи наоборот);

2. коэффициенты целевой функции одной задачи становятся свободными членами другой задачи;

3. свободные члены одной задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;

4. тип неравенств меняется ( <= на => и наоборот);

5. каждый столбец одной задачи порождает строку ограничений другой задачи и наоборот.

В матрично-векторном виде обе задачи выглядят так:

Исходная задача	Двойственная задача
CX→max AX≤B, X≥0	YB→min YA≥B, X≥0

P=36∙x1+14∙x2+25∙x3+50∙x4→max 4∙x1+3∙x2+4∙x3+5∙x4≤208 2∙x1+5∙x2+2∙x3+2∙x4≤99 3∙x1+1∙x2+2∙x3+5∙x4≤181 x1, x2, x3, x4≥0

S=208∙y1+99∙y2+181∙y3→min 4∙y1+2∙y2+3∙y3≥36 3∙y1+5∙y2+1∙y3≥14 4∙y1+2∙y2+2∙y3≥25 5∙y1+2∙y2+5∙y3≥50 y1, y2, y3≥0

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений X(x₁, x₂, x₃, x₄)иY(y₁, y₂, y₃)пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

x1∙(4∙y1+2∙y2+3∙y3-36)=0, x2∙(3∙y1+5∙y2+1∙y3-14)=0, x3∙(4∙y1+2∙y2+2∙y3-25)=0, x4∙(5∙y1+2∙y2+5∙y3-50)=0.

y1∙(4∙x1+3∙x2+4∙x3+5∙x4-208)=0, y2∙(2∙x1+5∙x2+2∙x3+2∙x4-99)=0, y3∙(3∙x1+1∙x2+2∙x3+5∙x4-181)=0.

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи x₁>0,x₄>0. Поэтому:

4∙y₁+2∙y₂+3∙y₃-36=0,

5∙y₁+2∙y₂+5∙y₃-50=0.

Если же учесть, что второй ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю y₂=0, то приходим к системе уравнений:

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов y₁=6,y₂=0,y₃=4, причем общая оценка всех ресурсов равна 1972.

Заметим, что решение содержалось в последней строке симплексной таблицы исходной задачи. Очень важен экономический смысл всех элементов этой строки. Например, двойственная оценка третьего ресурса y₃=4показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 4 единицы, а оценка третьей технологии∆₃=7показывает, что если произвести одну единицу продукции 3-го вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 7 единиц.

1.3. Расшивка узких мест

Таблица №3

			36	14	25	50	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
36	x1	27	1	2	2	0	1	0	-1
0	x6	5	0	3	-2/5	0	-4/5	1	2/5
50	x4	20	0	-1	-4/5	1	-3/5	0	4/5
	P	1972	0	8	7	0	6	0	4

При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют «узкие места производства». Будем их заказывать дополнительно. Пусть – вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие, гдеН– значения базисных переменных в последней симплексной таблице, аQ^-1 – обращенный базис, который образуют столбцы при балансовых переменных в этой таблице. Задача состоит в том, чтобы найти вектор, максимизирующий суммарный рост прибыли

(1)

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, ассортимента выпускаемой продукции)

(2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более первоначального объема ресурса каждого вида(3)

причем по смыслу задачи ,(4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде: (5)

; (6)

приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис. Допустимое множество закрашено серым цветом. Программа «расшивки» имеет вид:

Ответ: максимальный прирост прибыли составитmaxW=