§ 1. Оптимальное производственное планирование

1.1. Линейная задача производственного планирования

Задача линейного оптимального планирования – один из важнейших математических инструментов, используемых в экономике. Рассмотрим предприятие, которое из mвидов ресурсов производитnвидов продукции. Известны нормы расходаa[i,j]– количество единиц i-го ресурса, расходуемое на производство одной единицыj-говида продукции. Известны запасы ресурсов –i-горесурса имеетсяb[i], известны удельные прибылиc[j]– прибыли от реализации одной единицыj-говида продукции. План производстваX=(x[1],..., x[n])называется допустимым, если имеющихся ресурсов для него достаточно. Рассматриваемая задача состоит в нахождении допустимого плана, дающего максимальную прибыль из всех допустимых планов. Такой план называется оптимальным. Симплекс-метод является наиболее мощным и распространенным методом решения подобных задач, называемых задачами линейного программирования – ЛП.

Заданы удельные прибыли, нормы расхода и запасы ресурсов и компьютер решает поставленную задачу симплекс-методом.

36	14	25	50
4	3	4	5	208
2	5	2	2	99
3	1	2	5	181

Обозначим x₁, x₂, x₃, x₄– число единиц 1-й, 2-й, 3-й, 4-й продукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:

P(x₁, x₂, x₃, x₄)=36∙x₁+14∙x₂+25∙x₃+50∙x₄→max

4∙x₁+3∙x₂+4∙x₃+5∙x₄≤208

2∙x₁+5∙x₂+2∙x₃+2∙x₄≤99

3∙x₁+1∙x₂+2∙x₃+5∙x₄≤181

x₁, x₂, x₃, x₄≥0

Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавим неотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в равенства, в силу этого добавляемые переменные называются балансовыми. Получается задача ЛП на максимум, все переменные неотрицательны, все ограничения есть равенства и есть базисный набор переменных: x₅– в 1-м равенстве,x₆– во 2-м иx₇– в 3-м . Теперь можно запускать симплекс-метод.

P(x₁ – x₇)=36∙x₁+14∙x₂+25∙x₃+50∙x₄+0∙x₅+0∙x₆+0∙x₇→max

4∙x₁+3∙x₂+4∙x₃+5∙x₄+1∙x₅=208

2∙x₁+5∙x₂+2∙x₃+2∙x₄+ 1∙x6=99

3∙x₁+1∙x₂+2∙x₃+5∙x₄+ 1∙x7=181

x₁ – x₇≥0

Таблица №1

			36	14	25	50	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x5	208	4	3	4	5	1	0	0	41.6
0	x6	99	2	5	2	2	0	1	0	49.5
0	x7	181	3	1	2	5	0	0	1	36.2
	P	0	-36	-14	-25	-50	0	0	0

Если все оценочные коэффициенты (зеленый цвет) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Если же есть отрицательный оценочный коэффициент, то находят самый малый из них. Если в столбце коэффициентов над ним (голубой цвет) нет положительных, то задача не имеет решения. Задача оптимального планирования не может быть таковой, поэтому ищут минимальное отношение свободных членов к положительным элементам указанного столбца (это отношение указано справа от таблицы голубым цветом, а минимальное отношение – красным). В пересечении двух голубых строки и столбца получаем разрешающий элемент (красный цвет) и затем строим новую таблицу.

Таблица №2

			36	14	25	50	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	X7
0	x5	27	1	2	2	0	1	0	-1	27
0	x6	133/5	4/5	23/5	6/5	0	0	1	-2/5	33,25
50	x4	181/5	3/5	1/5	2/5	1	0	0	1/5	60,33
	P	1810	-6	-4	-5	0	0	0	10

Если есть отрицательные оценочные коэффициенты (зеленый цвет), то проделываем то же самое еще раз (см. выше).

Таблица №3

			36	14	25	50	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	X6	X7
36	x1	27	1	2	2	0	1	0	-1
0	x6	5	0	3	-2/5	0	-4/5	1	2/5
50	x4	20	0	-1	-4/5	1	-3/5	0	4/5
	P	1972	0	8	7	0	6	0	4

Оптимальное решение: x₁=27, x₆=5, x₄=20, все остальные переменные равны 0; максимум целевой функции равен 1972; значение переменной с номером i большим 4 есть остаток (i-4)-го ресурса.

Так как все оценочные коэффициенты (зеленый цвет) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Выше выписан ответ.