Задача о "расшивке узких мест производства"

При выполнении оптимальной производственной программы первый и второй ресурсы используются полностью, т.е. образуют узкие места производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T (t₁, t₂, t₃) – вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:

H + Q ^-1T 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (t₁, 0, t₃), максимизирующий суммарный прирост прибыли

W = 4t₁ + 3t₃ (1)

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)

(2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t₁ 316

0 <=1/3* 216 (3)

t₃ 199

По смыслу задачи t₁  0, t₃  0

28 + 1/28*t₁  0

7 - 4/7*t₁ - 1/7*t₃  0

23 –3/28*t₁ + 2/7 t₃  0

t₁  316/3

t₃  199/3

t₁  -784

4/7*t₁ + 1/7*t₃  7

–3/28*t₁ + 2/7 t₃  23

t₁  316/3

t₃  199/3

t₁  0, t₃ 0

Н

Grad W = (4;3)

y₁

y₃

A(0;49)

аходим координаты точки А(t1,t2). t₁ = 0, t₂ =49, и прирост прибыли составляет 0*4+49*3=147 рублей.

cj	31	14	25	50	b	x4+i	yi	ti
aij	4	0	8	7	316	0	-3/28	0
	3	2	5	1	216	7	0	49
	5	6	3	7	199	0	2/7	0
xj	23	0	28	0	1861			147
j	0	8	0	20

3. Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах а₁, а₂, ... а_m единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно b₁, b₂, ... b_n единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна с_ij и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов.

Пусть исходные данные задачи имеют вид:

4 5 8 6

А(45, 60, 65) В (31; 40; 41; 49); С = 3 2 5 1

5 6 3 2

Общий объем производства а _i = 45+60+65 = 170; требуется всем потребителям b_i = 31+40+41+49 = 161, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 170-161 = 9 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла.

Потребление	b1 = 31	b2 = 40	b3 = 41	b4 = 49	b5 = 9
Производство
а1 = 45	31	14			*	p1 =0
a2 = 60		26	34			p2
a3 = 65			7	49	9	p3
	q1	q2	q3	q4	q5

Следует иметь в виду, что по любой транспортной таблице можно восстановить соответствующий предпочитаемый эквивалент системы уравнений, в таблице записаны лишь правые части уравнений, причем номер клетки показывает, какая неизвестная в соответствующем уравнении является базисной. В любой транспортной таблице должно быть m + n - 1 занятых клеток.

Обозначим через ) вектор симплексных множителей или потенциалов. Тогда_ij = A_ij - с_ij

i = 1,m; j = 1,n

откуда следует

_ij = p_i + q_j - c_ij i = 1,m; j = 1,n

Один из потенциалов можно выбрать произвольно. Положим, что р₁ = 0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток . В данном случае получаем

₁₁ = 0, p₁ + q₁ - c₁₁ = 0, 0 + q₁ - 4 = 0, q₁ = 4

₁₂ = 0, p₁ + q₂ - c₁₂ = 0, 0 + q₂ -5 = 0, q₂ = 5

₂₂ = 0, p₂ + q₂ - c₂₂ = 0, р₂ +5 - 2 = 0, р₂ = -3

₂₃ = 0, p₂ + q₃ – c₂₃ = 0, -3 + q₃ - 5 = 0, q₃ = 8

₃₃ = 0, p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, р₃ + 8 - 3 = 0, p₃ = -5

₃₄ = 0, p₃ + q₄ – c₃₄ = 0, -5 + q₄ - 2 = 0, q₄ = 7

₃₅ = 0, p₃ + q₅ – c₃₅ = 0, -5 + q₅ - 0 = 0, q₅ = 5

Затем по формуле

_ij = p_i + q_j - c_ij i = 1, m; j = 1, n

вычисляем оценки всех свободных клеток:

₂₁ = p₂ + q₁ - c₂₁ = -3 + 4 - 3 = -2

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = -5 + 4 - 5 = -6

₃₂ = p₃ + q₂ - c₃₂ = -5 + 5 - 6 = -6

₁₃ = p₁ + q₃ – c₁₃ = 0 + 8 - 8 = 0

₁₄ = p₁ + q₄ – c₁₄ = 0 + 7 - 6 = 1

₂₄ = p₂ + q₄ – c₂₄ = -3 + 7 - 1 = 3

₁₅ = p₁ + q₅ – c₁₅ = 0 + 5 - 0 = 5

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = -3 + 5 - 0 = 2

Находим наибольшую положительную оценку

max () = 5 =₁₅

Для найденной свободной клетки 1;5 строим цикл пересчета - замкнутую ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, а все остальные - в занятых клетках. Это будет 15-12-22-23-33-35. Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета

14			*		14-					5			9
26	34				26+	34-				35	25
	7	49	9			7+	49	9-			16	49

_MAX = 9

Получаем второе базисное допустимое решение:

Потребление	b1 = 31	b2 = 40	b3 = 41	b4 = 49	b5 = 9
Производство
а1 = 45	31	5			9	p1 =0
a2 = 60		35	25	*		p2
a3 = 65			16	49		p3
	q1	q2	q3	q4	q5

Находим новые потенциалы, новые оценки.

₁₁ = 0, p₁ + q₁ – c₁₁ = 0, 0 + q₁ – 4 = 0, q₁ = 4

₁₂ = 0, p₁ + q₂ – c₁₂ = 0, 0 + q₂ – 5 = 0, q₂ = 5

₂₂ = 0, p₂ + q₂ – c₂₂ = 0, р₂ + 5 – 2 = 0, р₂ = 3

₂₃ = 0, p₂ + q₃ – c₂₃ = 0, 3 + q₃ – 5 = 0, q₃ = 2

₃₃ = 0, p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, р₃ + 2 – 3 = 0, p₃ = 1

₃₄ = 0, p₃ + q₄ – c₃₄ = 0, 1 + q₄ - 2 = 0, q₄ = -1

₁₅ = 0, p₁ + q₅ – c₁₅ = 0, 0 + q₅ - 0 = 0, q₅ = 0

₂₁ = p₂ + q₁ - c₂₁ = 3 + 4 – 3 = 4

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = 1 + 4 – 5 = 0

₃₂ = p₃ + q₂ - c₃₂ = 3 + 5 – 6 = 2

₁₃ = p₁ + q₃ – c₁₃ = 0 + 2 – 8 = -6

₁₄ = p₁ + q₄ – c₁₄ = 0 -1 – 6 = -7

₂₄ = p₂ + q₄ – c₂₄ = 3 -1 – 1 = 1

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = 3 + 0 – 0 = 3

₃₅ = p₃ + q₅ – c₃₅ = 1 + 0 – 0 = 1

Находим наибольшую положительную оценку

max () = 4 =₂₄

Для найденной свободной клетки 2;4 строим цикл пересчета 21-11-12-22. Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета

25	*		25-				25
16	49		16+	49-		41	24

_MAX = 25

Потребление	b1 = 31	b2 = 40	b3 = 41	b4 = 49	b5 = 9
Производство
а1 = 45	31	5			9	p1 =0
a2 = 60		35		25		p2
a3 = 65			41	24		p3
	q1	q2	q3	q4	q5

Находим новые потенциалы, новые оценки.

₁₁ = 0, p₁ + q₁ – c₁₁ = 0, 0 + q₁ – 4 = 0, q₁ = 4

₁₂ = 0, p₁ + q₂ – c₁₂ = 0, 0 + q₂ – 5 = 0, q₂ = 5

₂₂ = 0, p₂ + q₂ – c₂₂ = 0, р₂ + 5 – 2 = 0, р₂ = -3

₂₄ = 0, p₂ + q₄ – c₂₄ = 0, -3 + q₄ – 1 = 0, q₄ = 4

₃₄ = 0, p₃ + q₄ – c₃₄ = 0, p₃ + 4 - 2 = 0, p₃ = -2

₃₃ = 0, p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, -2 + q₄ – 3 = 0, q₄ = 5

₁₅ = 0, p₁ + q₅ – c₁₅ = 0, 0 + q₅ - 0 = 0, q₅ = 0

₂₁ = p₂ + q₁ - c₂₁ = -3 + 4 – 3 = -2

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = -2 + 4 – 5 = -3

₃₂ = p₃ + q₂ - c₃₂ = -2 + 5 – 6 = -3

₁₃ = p₁ + q₃ – c₁₃ = 0 +5 – 8 = -3

₁₄ = p₁ + q₄ – c₁₄ = 0 + 4 – 6 = -2

₂₃ = p₂ + q₃ – c₂₃ = -3 + 5 – 5 = -3

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = -3 + 0 – 0 = -3

₃₅ = p₃ + q₅ – c₃₅ = -2 + 0 – 0 = -2

Яполучил таблицу, для которой все_ij  0 i = 1,m; j = 1,n

Оценки удовлетворяют условию оптимальности, следовательно решение

оптимально.