2. Двойственная задача

Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.

Теперь представим себе, что возникла новая ситуация. Знакомый предприниматель, занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у₁ рублей за каждую единицу первого ресурса, у₂ руб – второго, у₃ руб – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у₁, у₂, у₃ мы можем согласиться с предложением.

Величины у₁, у₂, у₃ принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

В моей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид:

4 0 8 7 316

A = 3 2 5 1 B= 216 C= ( 31 10 41 29 )

5 6 3 7 199

Для производства единицы продукции первого вида необходимо затратить, как видно из матрицы А, 4единицы ресурса первого вида, 3 единицы ресурса второго вида и 5 единиц третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у₁, у₂, у₃затраты составят4у₁ + 3у₂ + 5у₃, т.е. столько заплатит предприниматель за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 31 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше

4у₁ + 3у₂ + 5у₃ 31

Аналогично, во втором столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции второго вида. Эти затраты составят 2у₂ + 6у₃, а на рынке за единицу продукции второго вида мы получили бы прибыль10рублей. Поэтому перед предпринимателем ставится условие

5у₁ +4у₃ 10

и так далее по всем видам продукции.

За все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 316у₁ + 216у₂ +199у₃рублей. При поставленных нами условиях предприниматель будет искать такие значения величин у₁, у₂, у₃, чтобы эта сумма была как можно меньше. Здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

y (у₁, y₂, y₃)

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

W= 316y₁ + 216y₂ +199y₃ (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

4у₁ + 3у₂ + 5у₃  31

5у₁ + 4у₃  10 (2)

8у₁ + 5у₂ + 3у₃  41

7у₁ + 1у₂ + 7у₃  29

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными

y₁0, y₂0, y₃0 (3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений

(х₁, х₂, х₃, х₄) и (y₁, y₂, y₃)

пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

23 (4у₁ + 3у₂ + 5у₃ – 31) = 0

0 (5у₁ + 4у₃ – 10) = 0

28 (8у₁ + 5у₂ + 3у₃ – 41) = 0

0 (7у₁ + 1у₂ + 7у₃ – 29) = 0

Так как x₁ > 0 и x₃ > 0, то

y₁ (4*23 +8*28 - 316) = 0

y₂ (3*23 +5*28 - 216) = 0

y₃ (5*23 + 3*28 - 199) = 0

4y₁ + 3y₂ + 5y₃ = 31

8y₁ + 5y₂ + 3y₃ = 41

y₂=0

откуда следует у₁=4, у₃=3.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у₁=4; у₂=0; у₃=3, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1861.

Решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка второго ресурса у₁=4 показывает, что добавление одной единицы 1-го ресурса обеспечит прирост прибыли в 4 единицы.