Министерство образования Российской Федерации

Государственный Университет Управления

Институт управления

в машиностроительной промышленности

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа по дисциплине

“Прикладная математика”

Выполнил: студент группы маш II-3,

Шерстобитов А. В.

Проверил: Онищенко А. М.

Москва, 2001

Содержание

1. Линейная производственная задача 3

2. Двойственная задача 5

Задача о "расшивке узких мест производства" 6

3. Транспортная задача линейного программирования 8

4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений 11

5. Динамическая задача управления производством и запасами 14

6. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества 16

8. Задача о кратчайшем пути 18

9. Задача о назначениях 19

14. Матричная модель производственной программы предприятия 20

15. Принятие решений в условиях неопределенности 21

16. Анализ доходности и риска финансовых операций 23

17. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг 25

1. Линейная производственная задача

Задача о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель задачи об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом.

Предположим, что предприятие или цех выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования, например, в минутах или часах и фонд времени работы каждой группы оборудования. Пусть, кроме того, известно, что из всех n видов изделий наибольшим спросом пользуются k видов. Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет наибольшим возможным.

Примем следующие обозначения:

i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

j – номер вида изделия (j=1,2, … , n);

a_ij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

b_i – действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

x_i – планируемое количество единиц j-го изделия;

(x₁, x₂, … , x_n) – искомый план производства.

Исходные параметры задачи представлены в виде технологической матрицы A затрат ресурсов на единицу продукции каждого вида, вектора B объемов ресурсов и вектора C удельной прибыли:

4 0 8 7 316

A = 3 2 5 1 B= 216 C= ( 31 10 41 29 )

5 6 3 7 199

При этом x₁  0, x₂  0, x₃  0, x₄  0.

Составим функция прибыли (целевую функцию):

Z=31x₁+10x₂+41x₃+29x₄

Необходимо составить производственную программу (х₁, х₂, …, х_n) так, чтобы функция Z приняла наибольшее значение при выполнении всех других условий:

4x₁ + 8x₃ + 7x₄  316 1 вид ресурса

3x₁ + 2x₂ + 5x₃ + x₄  216 2 вид ресурса (1)

5x₁ + 6x₂ + 3x₃ + 7x₄  199 3 вид ресурса

Неравенства (1) нужно превратить в равенства. Для этого вводим дополнительные неотрицательные неизвестные x₅  0, x₆  0, x₇  0.

Решим задачу с помощью симлексной таблицы:

			X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
c`	Базис	H	31	10	41	29	0	0	0
0	X5	316	4	0	8	7	1	0	0
0	X6	216	3	2	5	1	0	1	0
0	X7	199	5	6	3	7	0	0	1
	Z-Z0	0	1 = -31	2 = -10	3 = -41	4 = -29	5 = 0	6 = 0	7 = 0
41	X3	39,5	0,5	0	1	7/8	1/8	0	0
0	X6	18,5	0,5	2	0	-27/8	-5/8	1	0
0	X7	80,5	3,5	6	0	35/8	-3/8	0	1
	Z-Z0	1619,5	1 = -10,5	2 = -10	3 = 0	4 = 55/8	5 = 41/8	6 = 0	7 = 0
41	X3	28	1/7	0	2/7	1/ 4	1/28	0	0
0	X6	7	0	8/7	0	-4	-4/7	1	-1/7
31	X1	23	0	12/7	0	5/4	-3/28	0	2/7
	Z-Z0	1861	1 = 0	2 = 8	3 = 0	4 = 20	5 = 4	6 = 0	7 = 3

Рассчитываем таблицу до тех пор пока все j не станут неотрицательными.

Таблица содержит в себе экономический смысл. Рассмотрим для примера ₂ = 8: если произвести одну единицу продукции 2-го вида, то прибыль уменьшится на 8 единиц.

Вектор Н (28, 7, 23) показывает, что надо произвести 28 единиц 3-го продукта, 2-ой и 4-ый продукт производить не следует и 23 единицы 1-го продукта;

При этом остатки ресурсов составят:

Первого вида x₅=0

Второго вида x₆=7

Третьего вида x₇=0

Прибыль будет равна Z = 28*41 + 23*31 = 1861

Обращенный базис высчитывается по части полученной таблицы.

Необходимо проверить, что Н = Q^-1 * B

Обращенный базис сходится.