§1. Цели и задачи курсового проекта

Выполнение курсового проекта по прикладной математике направлено на усиление связи обучения студентов с практикой совершенствования управления, организации современного производства, всего механизма хозяйствования.

В процессе работы над курсовым проектом студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и на практических занятиях, но и учится применять методы исследования операций при постановке и решении конкретных экономических задач.

Цель курсового проекта - подготовить студента к самостоятельному проведению операционного исследования, основными этапами которого являются построение математической модели, решение управленческой задачи при помощи модели и анализ полученных результатов.

1. Линейная производственная задача

Задача о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель задачи об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом.

Предположим, что предприятие или цех выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования, например, в минутах или часах и фонд времени работы каждой группы оборудования. Пусть, кроме того, известно, что из всех n видов изделий наибольшим спросом пользуются k видов. Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет наибольшим возможным.

Примем следующие обозначения:

i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

j – номер вида изделия (j=1,2, … , n);

a_ij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

b_i – действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

x_i – планируемое количество единиц j-го изделия;

(x₁, x₂, … , x_n) – искомый план производства.

Исходные параметры задачи представлены в виде технологической матрицы A затрат ресурсов на единицу продукции каждого вида, вектора B объемов ресурсов и вектора C удельной прибыли:

2 3 0 4 148

A = 4 1 5 0 B= 116 C=(30 25 14 12)

0 2 4 3 90

x₁,x₂,x₃,x₄>=0

Составим функция прибыли (целевую функцию):

Z=30x₁+25x₂+14x₃+12x₄

Необходимо составить производственную программу (х₁, х₂, …, х_n) так, чтобы функция Z приняла наибольшее значение при выполнении всех других условий:

2x₁+3x₂+ 4x₄<=148 1 вид ресурса

4x₁+ x₂+5x₃ <=116 2 вид ресурса (1)

2x₂+4x₃+3x₄<=90 3 вид ресурса

Неравенства (1) нужно превратить в равенства. Для этого вводим дополнительные неотрицательные неизвестные x₅, x₆, x₇≥0.

Решим задачу с помощью симплексной таблицы:

Ć	Базис	Н	X1=30	X2=25	X3=14	X4=12	X5	X6	X7	α	β	Пояснения
0	X5	148	2	3	0	4	1	0	0	74	1/2	Z0=Ć*H j=Ć*Gj-Cj min(j<0)= -30 min(α)=29
0	X6	116	4	1	5	0	0	1	0	29	1
0	X7	90	0	2	4	3	0	0	1	∞	0
	Z0-Z	0-Z	-30	-25	-14	-12	0	0	0		-15/2
0	X5	90	0	5/2	-5/2	4	1	-1/2	0	36	1	min(j<0)= -35/2 min(α)=36
30	X1	29	1	1/4	5/4	0	0	1/4	0	116	1/10
0	X7	90	0	2	4	3	0	0	1	45	4/5
	Z0-Z	870-Z	0	-35/2	47/2	-12	0	15/2	0		-7
25	X2	36	0	1	-1	8/5	2/5	-1/5	0			Все j≥0
30	X1	20	1	0	3/2	-2/5	-1/10	3/10	0
0	X7	18	0	0	6	-1/5	-4/5	2/5	1
	Z0-Z	1500-Z	0	0	6	16	7	4	0

Формулы расчета:

α1=148/2=74 α2=116/4=29 α3=0/90=∞	β1=2/4=1/2 β2=4/4=1 β3=0/4=0 β4=-30/4=-15/2	α1′=90*2/5=36 α2′=29*4=116 α3′=90/2=45	β1′=5/2*2/5=1 β2′=1/4*2/5=1/10 β3′=2*2/5=4/5 β4′=-35/2*2/5= -7
A1j′= A1j – β1* A2j A2j′= A2j/4 A3j′= A3j – β3* A2j A4j′= A4j – β4* A2j		A1j′′= A1j′/4 A2j′′= A2j′ – β2′* A1j′ A3j′′= A3j′ – β3′* A1j′ A4j′′= A4j′ – β4′* A1j′
B1′= B1– β1* B2=148–116/2=90 B2′= B2/4=116/4=29 B3′= B3– β3* B2=90–0*116=90 B4′= B4– β4* B2=0+116*15/2=870		B1′′= B1′*2/5=90*2/5=36 B2′′= B2′– β2′* B1′=29-90/10=20 B3′′= B3′– β3′* B1′=90-90*4/5=18 B4′′= B4′– β4′* B1′=870+7*90=1500

Рассчитываем таблицу до тех пор пока все j не станут неотрицательными. Экономический смысл последней строки: например, ₃=6 – если произвести одну единицу продукции 3-го вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 6 единиц. Вектор Н(36,20,18) показывает, что надо произвести 36 единиц 1-го продукта, 20 единицы 2-его продукта, 3-ий и 4-ый продукт вообще не производить; при этом остатки ресурсов:

Первого вида x5=0

Второго вида x6= 0

Третьего вида x7=18

…и прибыль будет равна Z=30*20 + 25*36= 1500.

Обращенный базис

2/5 -1/5 0

Q^-1 = -1/10 3/10 0

-4/5 2/5 1

проверить, что

Н= Q^-1*B

36 148 2/5 -1/5 0 36

H= 20 B 116 * Q^-1 -1/10 3/10 0 =H 20

18 90 -4/5 2/5 1 18