§2. Анализ финансовых операций и инструментов.

2.1.Принятие решений в условиях неопределенности.

Исходные данные:

2 4 6 18

Q = 0 8 16 20

2 12 18 22

0 4 10 14

Вероятности состояний: (1/5, 2/5, 1/5, 1/5)

Задание:

1. Найти матрицу рисков.

2. Найти решения, рекомендуемые правилами Вальда, Сэвиджа, Гурвица ( задайте сами).

3. При данных вероятностях состояний проанализируйте имеющееся семейство из 4-х операций: каждая операция имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск, нанесите для каждой операции эти характеристики на плоскую систему координат и выявите операции, оптимальные по Парето.

4. Затем найдите выпуклую оболочку множества полученных точек и дайте интерпретацию точек полученной выпуклой оболочки.

5. Придумайте пробную операцию, которая значительно сместит распределение вероятностей, и определите максимально оправданную стоимость пробной операции, используя какой-нибудь подходящий критерий эффективности операции (например, средний ожидаемый доход).

6. Выберите две какие-нибудь операции, предположите, что они независимы друг от друга и найдите операцию, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошую, чем какая-либо из имеющихся.

7. Придумайте взвешивающую формулу и найдите по ней худшую и лучшую операции.

Решение:

1.Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i-е решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть j-я, то было бы принято решение, дающее доход q_i = max q_ij

ⁱ

Значит, принимая i-е решение мы рискуем получить не q_j, а только q_ij, значит, принятие j-го решения в этом случае несет риск недобрать r_ij = q_i – q_ij.

Составим матрицу рисков. Имеем q₁ = max q_i1= 2, q₂ = 12, q₃ = 18, q₄ = 22.

ⁱ

Cледовательно, матрица рисков есть

0 8 12 4

R = 2 4 2 2

0 0 0 0

2 8 8 8

2.Не все случайное можно измерить вероятностью. Неопределенность – понятие более широкое. Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая i-е решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход a_i = min q_ij

^j

Но теперь уж выберем решение i₀ с наибольшим a_io. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i₀, такое что

a_io = max a_i = max min q_ij

^{i i j}

Найдем, какое решение рекомендует правило Вальда в данном примере. По условию имеем a₁ = 2, a₂ = 0, a₃ = 2, a₄ = 0.

Из чисел 2, 0, 2, 0 находим максимальное. Это – 2 .Причем его принимают два. Следовательно, правило Вальда рекомендует принять 1-е и 3-е решения.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применениии этого правила анализируется матрица рисков R = (r_{i j}). Рассматривая i-е решение, предположим, что на самом деле складывается ситуация максимального риска

b_i = max r_ij.

^j

Но теперь уж выберем решение i₀ с наименьшим b_io. Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i₀, такое что

b_io = min b_i = min max r_ij .

^{i i j}

Так, в данном примере, имеем b₁ = 12, b₂ = 4, b₃ = 0, b₄ = 8. Теперь из этих чисел находим минимальное. Это – 0. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение i, на котором достигается максимум величины

min q_ij + (1 – max q_ij , где 01.

^{j j}

Предположим, что  =1/2. Тогда получаем

I решение - 1/2·2 + (1-1/2)·18 = 10

II решение - 1/2·0 + (1-1/2)·20 = 10

III решение - 1/2·2 + (1-1/2)·22 = 12

IV решение - 1/2·0 + (1-1/2)·14 = 7

Следовательно, правило Гурвица рекомендует 3-е решение.

3.Для нахождения среднего ожидаемого дохода применим правило минимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации i-го решения, является случайной величиной Q_i с рядом распределения

q_i1 . . . q_in

p₁ . . . p_n

Математическое ожидание M[Q_i] и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый так же Q_i. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

В задаче даны следующие вероятности состояний (1/5, 2/5, 1/5, 1/5), т.е.

Q₁: 2 4 6 18

1/5 2/5 1/5 1/5

Q₁ = 2·1/5 + 4·2/5 + 6·1/5 + 18·1/5 = 34/5

Q₂: 0 8 16 20

1/5 2/5 1/5 1/5

Q₂ = 0·1/5 + 8·2/5 +16·1/5 + 20·1/5 = 52/5

Q₃: 2 12 18 22

1/5 2/5 1/5 1/5

Q₃ = 2·1/5 + 12·2/5 + 18·1/5 + 22·1/5 = 66/5

Q₄: 0 4 10 14

1/5 2/5 1/5 1/5

Q₄ = 0·1/5 + 4·2/5 + 10·1/5 + 14·1/5 = 32/5

Максимальный средний ожидаемый доход равен 66/5, соответствует 3-у решению.

Для нахождения среднего ожидаемого риска применим правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации i-го решения, является случайной величиной R_i с рядом распределения

r_i1 . . . r_in

p₁ . . . p_n