1. Двойственная задача линейного программирования.

Исходные данные:

Из предыдущей задачи имеем математическую модель линейной производственной задачи

59 x₁ + 27 x₂ + 20x₃ +35 x₄ → max ,

1x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ ≤ 102,

3x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 3x₄ ≤ 204,

4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 1x₄ ≤ 188,

x_1-4 ≥ 0.

Задание:

Сформировать задачу, двойственную линейной производственной задаче и найти ее решение, пользуясь первой, а потом второй теоремами двойственности. Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

Решение:

Необходимо найти оценку единицы каждого вида ресурса, т.е. необходимо найти вектор двойственных оценок (y₁, y₂, y₃), минимизирующий общую оценку ресурсов всех ресурсов

102y₁ + 204y₂ + 188y₃ → min,

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

1y₁ + 3y₂ + 4y₃ ≥59,

3y₁ + 2y₂ + 2y₃ ≥27,

2y₁ + 0y₂ + 3y₃ ≥20,

2y₁ + 3y₂ + 1y₃ ≥35,

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными y_1-3 ≥0.

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений x(x₁, x₂, x₃, x₄ ) и y(y₁, y₂, y₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

x_i ( ∑ a_ij·y_i – c_j ) = 0 y_i ( b_i – ∑ a_ij·x_j ) = 0

^{i i}

x₁ (1y₁ + 3y₂ + 4y₃ –59) = 0 y₁ (1x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ –102 ) = 0

x₂ (3y₁ + 2y₂ + 2y₃ –27) = 0 y₂ (3x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 3x₄ –204 ) = 0

x₃ (2y₁ + 0y₂ + 3y₃ –20) = 0 y₃ (4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 1x₄ –188 ) = 0

x₄ (2y₁ + 3y₂ + 1y₃ –35) = 0

В предыдущей задаче было найдено

x₁ = 40, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ = 28, т.е. x₁ >0, x₄ >0. Поэтому

1y₁ + 3y₂ + 4y₃ –59 = 0,

2y₁ + 3y₂ + 1y₃ –35 = 0.

Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю y₁ = 0, то

y₁ = 0 y₁ = 0 y₁ = 0

y₁ + 3y₂ + 4y₃ –59 = 0 3y₂ + 4y₃ = 59 y₂ = 9

2y₁ + 3y₂ + y₃ –35 = 0 3y₂ + y₃ =35 y₃ = 8

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

y₁ = 0, y₂ = 9, y₃ = 8, причем общая оценка всех ресурсов равна 3340.