5. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с nпеременными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Рассмотрим нелинейную задачу распределения ресурсов между предприятиями отрасли. Предположим, что указано nпунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделеноbрублей. Обозначим черезf_j(x_j) прирост мощности или прибыли наj-том предприятии, если оно получитx_jрублей капвложений. Требуется найти такое распределение (х₁, х₂, ..., х_n) капвложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

Z=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капвложений х₁ + х₂ +...+х_n = b, причём будем считать, что все переменныеx_jпринимают только целые значенияx_j=1,2,...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение -довольно трудоёмкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введём параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состоянияF_k() определим как максимальную прибыль на первыхkпредприятиях, если они вместе получатрублей. Параметрможет меняться от 0 доb. Если изрублейk-ое предприятие получит Х_крублей, то каково бы ни было это значение, остальные-Х_крублей естественно распределить между предприятиями от 10-го до (к-1)-го предприятия, чтобы была получен максимальная прибыльF_k-1(-x_k). Тогда прибыльkпредприятий будет равнаf_k(x_k) +F_k-1(-x_k). Надо выбрать такое значениеx_kмежду 0 и, чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

F_k() =max{f_k(x_k) +F_k-1(-x_k)}

0 X

для k=2,3,....,n.Если жеk=1 ,то

F₁()=f₁().

В нашем случае производственное объединение состоит из 4-х предприятий (k=4).Общая сумма капвложений равна 700 тыс. рублей (b=700) , выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.

Значения функций f_j(x_j) приведены в таблице 1.

Таблица 1

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	15	26	37	46	53	59	63
f2(xj)	0	15	24	30	36	40	43	45
f3(xj)	0	9	30	33	31	39	45	49
f4(xj)	0	24	36	42	46	48	49	49

Прежде всего заполняем таблице2. Значения f₂(x₂) складываем со значениямиF₁(-x₂)=f₁(-x₂) и на каждой побочной диагонали находим наибольшее число, которое помечаем звёздочкой. Продолжая процесс табулируем функцииF₃(),x₃() и т.д. В таблице 6 заполняем только одну диагональ для значения=700.

Таблица 2

-х2		0	100	200	300	400	500	600	700
X2	F(-x2) f2(x2)	0	15	26	37	46	53	59	63
0	0	0	15*	26	37	46	53	59	63
100	15	15*	30*	41*	52*	61*	68	74	---
200	24	24	39	50	61*	70*	77*	---	---
300	30	30	45	56	67	76	---	---	---
400	36	36	51	62	73	---	---	---	---
500	40	40	55	66	---	---	---	---	---
600	43	43	58	---	---	---	---	---	---
700	45	45	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 3

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2()	0	15	30	41	52	61	70	77
x2()	0	0	100	100	100	100	200	200
x2()	0	100	100	100	100	200	200	200

Таблица 4

-х3		0	100	200	300	400	500	600	700
Х3	F(-x3) f2(x3)	0	15	30	41	52	61	70	77
0	0	0	15*	30*	41	52	61	70	77
100	9	9	24	39	50	61	70	79	---
200	30	30*	45*	60*	71*	82*	91*	---	---
300	33	33	48	63	74	85	---	---	---
400	31	31	46	61	72	---	---	---	---
500	39	39	54	69	---	---	---	---	---
600	45	45	60	---	---	---	---	---	---
700	49	49	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 5

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3()	0	15	30	45	60	71	82	91
X3()	0	0	0	200	200	200	200	200
X3()	0	0	200	200	200	200	200	200

Таблица 5

-х4		0	100	200	300	400	500	600	700
Х4	F(-x4) f2(x4)	0	15	30	45	60	71	82	91
0	0								91
100	24							106	---
200	36						107	---	---
300	42					102	---	---	---
400	46				91	---	---	---	---
500	48			78	---	---	---	---	---
600	49		64	---	---	---	---	---	---
700	49	49	---	---	---	---	---	---	---

Z_max = 107 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно быть выделено

х₄* = х₄(700) = 200 тыс. руб.

На долю остальных трех предприятий остается 500 тыс. руб. Из Таблицы 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

х₃* = х₃(700 - х₄*) = х₃(500) = 200 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим

х₂* = х₂(700 - х₄* - х₃*) = х₂(300) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия останется

х₁* = 700 - х₄* - х₃* - х₂* = 200 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

х1* = 200;	Zmax = 107
х2* = 100;
х3* = 200;
х4* = 200

Этот план обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 107 тыс. руб.

В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство

f₁(x₁*) + f₂(x₂*) + f₃(x₃*) + f₄(x₄*) = Z_max

f₁(200) + f₂(100) + f₃(200) + f₄(200) = 26 + 15 + 30 + 36 = 107 = Z_max

Следовательно, полученные решения верны.