Задание №1

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

Количество каждого из товаров задаётся с помощью производственной программы:

, где

X1, x2, x3, x4 - кол-во 1-ой, 2-ой, 3-ей и 4-ой продукции соответственно.

Технологическая матрица затрат показывает какое количество ресурсов требуется для производства 1 единицы продукции. Каждому виду продукции соответствует столбец в технологической матрице затрат А. Каждая строка матрицы А соответствует одному из видов ресурсов. Чтобы получить расход каждого ресурса при заданной производственной программе перемножим матрицу А и вектор производственной программы X:

Каждый элемент полученного вектора равен расходу соответствующего ресурса при заданной производственной программе, т.е. при x_1, x_2, x_3, x₄ . Так как матрица А указывает на необходимое количество определённого ресурса для производства 1 единицы продукции, то умножая это число на общее количество продукции данного вида мы получим расход данного ресурса для производства заданного количества определённого вида продукции. Сложив расход ресурса по всем видам продукции, мы получим общий расход ресурса.

Вектор В указывает на располагаемое количество ресурсов. Каждый элемент соответствует одному виду ресурса. Таким образом, при производстве при заданной производственной программе X и объеме располагаемых ресурсов B должны выполняться неравенства для каждого ресурса:

; ;

_{Вектор С указывает на прибыль от продажи 1 единицы продукции каждого вида. Каждый элемент вектора соответствует одному виду продукции. Чтобы найти прибыль от каждого вида продукции следует помножить вектор производственной программу X на вектор удельной прибыли С:}

_{Сложив элементы полученного вектора мы получим совокупную прибыль от продажи всей продукции при заданном векторе производственной программы X. Так как x1, x2, x3, x4 – неизвестные запишем полученное выражение в виде функции:}

Для достижения максимальной прибыли требуется найти максимум полученной функции z. При этом x₁, x₂, x₃, x₄ по смыслу 0. Учитывая условия ограничения по ресурсам, получим задачу на условный экстремум:

Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неизвестных х₅, х₆, х₇ заменим системой линейных алгебраических уравнений

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х₅ – остаток ресурса 1-го вида,

х₆ – остаток ресурса 2-го вида,

х₇ – остаток ресурса 3-го вида.

Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	h		Базисные решения
x5	1	0	2	5	1	0	0	110		(0;0;0;0;110;126;114)
x6	3	6	0	4	0	1	0	126	1/3
x7	2	4	1	3	0	0	1	114
z	-30	-28	-9	-23	0	0	0	0
x5	0	-2	2	11/3	1	-1/3	0	68		(42;0;0;0;68;0;30)
x1	1	2	0	4/3	0	1/3	0	42	(-1) (-2) (30)
x7	0	0	1	1/3	0	-2/3	1	30
z	0	32	-9	17	0	10	0	1260
x5	0	-2	0	3	1	1	-2	8		(42;0;30;0;8;0;0)
x1	1	2	0	4/3	0	1/3	0	42
x3	0	0	1	1/3	0	-2/3	1	30	(9) (-2)
z	0	32	0	20	0	4	9	1530

Оптимальная производственная программа:

Остатки ресурсов:

первого вида -

второго вида -

третьего вида -

Узкими местами производства, т.е. ресурсами, использующимися полностью, являются 2-ой и 3-ий ресурсы, и соответственно.

Максимальная прибыль:

При решении мы получили обращенный базис:

, где

1-ый столбец – столбец симплексной таблицы, 2-ой – столбец , а 3-ий – столбец

Также, при решении мы получили и базис:

, где

1-ый столбец – столбец симплексной таблицы, 2-ой – столбец , а 3-ий – столбец

Выполним проверку:

- верно

- вектор свободных членов системы ограничений

- вектор-столбец конечной симплексной таблицы

- верно

Решим исходную задачу графическим методом

Так как в базисе отсутствуют и , исключим их из модели

где 1 - , 2 - , 3 - , 4 – градиент целевой функции , 5 – линия уровня, заштрихованная область – область допустимых решений, т.е. значения и , при которых выполняются ограничения. ОДР образует многоугольник. Передвигая линию уровня по направлению градиента, мы пройдём все вершины многоугольника ОДР. Последняя вершина будет соответствовать максимальному значению целевой функции. В данном случае это точка А с координатами (42;30) ( и )

Оптимальная производственная программа:

Максимальная прибыль:

Остатки ресурсов:

первого вида - (110-42-2

второго вида - (126-42)

третьего вида - (114-42