Метод ветвей и границ.

Решение задачи планирования с учётом пропорций оказалось не целочисленным, следовательно следует решить задачу методом ветвей и границ, для нахождения целочисленных решений.

P(x) = x₁ + 3x₂max

{

14x₁ + 9x₂  51

-6x₁ + 3x₂  1

x₁  0, x₂ 0

решение:

x₁ = 1.56, x₂ = 3.45, P(x)_max = 11.5

См. график на рисунке

{

{

P(x) = x₁ + 3x₂max P(x) = x₁ + 3x₂max

G₁ = 14x₁ + 9x₂  51 G₂ = 14x₁ + 9x₂  51

-6x₁ + 3x₂  1 -6x₁ + 3x₂  1

x₁  1 x₁  2

Решение: x₁ = 1; x₂ =7/3 Решение: x₁ = 2; x₂ =23/9

P1(x)_max = 8 P2(x)_max = 9,6

Т.к. P1(x)_max >P2(x)_max

То эта задача не подходит

{

{

P(x) = x₁ + 3x₂max P(x) = x₁ + 3x₂max

G₃ = 14x₁ + 9x₂  51 G₄ = 14x₁ + 9x₂  51

-6x₁ + 3x₂  1 -6x₁ + 3x₂  1

x₁  2; x₂  2 x₁  2; x₂  3

Решение не принадлежит ОДЗ

{

{

P(x) = x₁ + 3x₂max P(x) = x₁ + 3x₂max

G₅ = 14x₁ + 9x₂  51 G₆ = 14x₁ + 9x₂  51

-6x₁ + 3x₂  1 -6x₁ + 3x₂  1

x₁ =3; x₂ =1 x₁ =2; x₂ =2

P5(x)_max =6 P6(x)_max = 8

Ответ: P(x)_max = 8; x₁ =2;x₂ =2

Решение задачи распределения капвложений методом динамического программирования.

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Рассмотрим нелинейную задачу распределения ресурсов между предприятиями отрасли. Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через f_j(x_j) прирост мощности или прибыли на j-том предприятии, если оно получит x_j рублей капвложений. Требуется найти такое распределение (х₁, х₂, ..., х_n) капвложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

Z=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капвложений

х₁ + х₂ +...+х_n = b

причём будем считать, что все переменные x_j принимают только целые значения x_j =1,2,...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение -довольно трудоёмкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введём параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния  примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния F_k() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получат  рублей. Параметр  может меняться от 0 до b. Если из  рублей k-ое предприятие получит Х_к рублей, то каково бы ни было это значение, остальные -Х_к рублей естественно распределить между предприятиями от 10-го до (к-1)-го предприятия, чтобы была получен максимальная прибыль F_k-1(-x_k). Тогда прибыль k предприятий будет равна f_k(x_k) + F_k-1(-x_k). Надо выбрать такое значение x_k между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

F_k() = max {f_k(x_k) + F_k-1(-x_k)}

0  X  

для k=2,3,....,n .Если же k=1 ,то

F₁()=f₁().

Рассмотрим конкретный пример. Пусть производственное объединение состоит из 4-х предприятий (k=4).Общая сумма капвложений равна 700 тыс. рублей (b=700) , выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.

Значения функций f_j(x_j) приведены в табл. 1.

Прежде всего заполняем табл.3. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁(-x₂)=f₁(-x₂) и на каждой побочной диагонали находим наибольшее число, которое помечаем звёздочкой. Заполняем табл .3.

Продолжая процесс табулируем функции F₃(), x₃() и т.д. В табл.6 заполняем только одну диагональ для значения =700.

Таблица 1.

Xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	75	90	100	108	113	115	117
f2(xj)	0	85	100	111	118	124	129	132
f3(xj)	0	42	58	71	80	89	95	100
f4(xj)	0	28	45	66	78	90	102	113

Таблица2.

	-х2	0	100	200	300	400	500	600	700
х2		0	75	90	100	108	113	115	117
0	0	0	75	90	100	108	113	115	117
100	85	85*	160*	175	185	193	198	200	---
200	100	100	175*	190*	200	208	213	---	---
300	111	111	186	201*	211*	219*	---	---	---
400	118	118	193	208	218	---	---	---	---
500	124	124	199	214	---	---	---	---	---
600	129	129	204	---	---	---	---	---	---
700	132	132	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 3.

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2()	0	85	160	175	190	201	211	219
x2()	0	100	100	200	200	300	300	300

Таблица 4.

	-x3	0	100	200	300	400	500	600	700
x3		0	85	160	175	190	201	211	219
0	0	0	85*	160*	175	190	201	211	219
100	42	42	127	202*	117	232	243	253	---
200	58	58	143	218*	233*	248*	259	---	---
300	71	71	156	231	246	261*	---	---	---
400	80	80	165	240	255	---	---	---	---
500	89	89	174	249	---	---	---	---	---
600	95	95	180	---	---	---	---	---	---
700	100	100	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 5.

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3()	0	85	160	202	218	233	248	261
x3()	0	0	0	100	200	200	200	300

Таблица 6.

	-x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4		0	85	160	202	218	233	248	261
0	0	0	85	160	202	218	233	248	261
100	28	28						276
200	45	45					278
300	66	66				284*
400	78	78			280
500	90	90		250
600	102	102	187
700	113	113

Наибольшее число диагонали в табл.6 :

Z_max = 284 тыс. рублей

X4* = 300

X3*+X2*+X1*=700–300=400

В табл.5:

где сумма равна 400

Х3* = 200

Х1*+Х2*=400-200=200

В табл.3.

где сумма равна 200

Х2*=100

Х1*=100

Оптимальная программа: 1) Х1*=100 ; Х2*=100 ;

Х3*=200 ; Х4*=300

Z_max(X1*;... X4*)=284

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР.

Дана матрица: 1 -2 -4 0

2 2 1 -3

У первого игрока 2 чистых стратегии, у второго 4 чистых стратегий.

Формула математического ожидания выигрыша:

М(R, Q) = å å a_ij p_iq_j

Для выявления активных стратегий воспользуемся рисунком 4 и преобразуем исходную матрицу добавив 5:

1	-2	-4	0
2	2	1	-3

6	3	1	5
7	7	6	2



• М –точка минимально

гарантированных выигрышей

В3 и В4 – активные стратегии

Pi – вероятность выигрыша первого

игрока, применяя i-ую стратегию

Qj – вероятность выигрыша второго

игрока, применяя j-ую стратегию

 - цена игры

	В1	В2
А1	1	5
А2	6	2

Имеем:

Найдем оптимальные стратегии: P*=(p1;p2), Q*=(q1;q2).

{

{

{

{

1p1+6p2=

5p1+2p2=  p1+6p2=5p1+2p2  p1=p2  p1=1/2

p1+p2=1 p1+p2=1 p1+p2=1 p2=1/2

P*=(1/2;1/2)

{

{

{

{

1q1+5q2=

6q1+2q2=  q1+5q2=6q1+2q2  q1=3/5q2 q1=3/8

q1+q2=1 q1+q2=1 1+q2=1 q2=5/8

Q*=(3/8;5/8)

Найдем риски игры и среднее значение выигрыша.

M3–среднее значение выигрыша, если противник применит стратегию В3.

r – риск; r = 

M3=1/2*1+1/2*6=3,5

M4=1/2*1+1/2*6=3,5

D3=1*1/2+36*1/2-12,25=6,25; r3=6,25=2,5

D4=25*1/2+4*1/2-12,25=2,25; r4=2,25=1,5

Mобщ.=1*1/2*3/8+6*1/2*5/8+5*1/2*3/8+2*1/2*5/8=58/16=3,625

Среднее значение выигрыша равно 3,625.

Dобщ.=1*1/2*3/8+36*1/2*5/8+25*1/2*3/8+4*1/2*5/8-3364/256=4,18

общ.= 4,18=2,04

18