Составление модели новой производсtвенной программы с учётом пропорций.

Пусть для выпуска продукции требуется некоторые затраты в определённых пропорциях. Пусть  = 1,  = 2, =1, =3, тогда: 2x1 = x3, а 3х2 = х4.

Исходя из полученных данных получаем, что математическая модель производственной задачи с учётом полученных пропорций примет вид:

P

{

(x)=24x1 + 31x3max

x3  81+ 1,5x2

x3 74 –2/3x2

x1  0, x2  0

Х1=38; Х2=24

Полученную задачу можно решить графически.

Решение задачи приведено на Рис. 1.

Решение задачи находится в точке А с координатами x1 = 38, x2 = 24, откуда оптимальный план производства: x1 = 38, x2 = 24, а максимальная прибыль составит P(x)max = 1656

Формулировка двойственной линейной задачи и её решение двойственным симплексным методом.

Задача линейного оптимального планирования - исходная в своей паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:.

1. каждому неравенству-ограничению исходной задачи ставим в соответствие переменную двойственной задачи (у), принимающую неотрицательные значения;

2. транспонируем матрицу коэффициентов при неизвестных;

3. правые части ограничений заменяем коэффициентами целевой функции;

4. меняем направление неравенств;

5. коэффициенты целевой функции заменяем правыми частями ограничений;

6. то максимизации целевой функции переходим к минимизации.

Обе задачи выглядят так

P

{

{

= 24*x1+20*x2+31*x3+10*x4-->max S= 162*y1+134*y2+148*y3 -->min

3*x1+0*x2+2*x3+5*x4<=162 3*y1+3*y2+2*y3>=24

3*x1+6*x2+0*x3+3*x4<=134 0*y1+6*y2+4*y3>=20

2*x1+4*x2+3*x3+1*x4<=148 2*y1+0*y2+3*y3>=31

x1,x2,x3,x4>=0 5*y1+3*y2+1*y3>=10

y1,y2,y3>=0

Симплексная таблица N 3

	Сб	Xб	Н	24	20	31	10	0	0	0	α
1	24	Х1	38	1	-8/5	0	13/5	3/5	0		-2/5
2	0	Х6	20	0	54/5	0	-24/5	-9/5	1		6/5
3	31	Х3	24	0	12/5	1	-7/5	-2/5	0		3/5
4	–	–	1656	0	16	0	-9	-2	0		-9

Исходная задача: x1= 38;x2= 0;x3=24;x4=0;x5=0;x6=20;x7= 0;

Двойственная задача: y1=2; y2=0; y3=9 Заметим, что данное решение содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 1656.Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-е ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое - если оптимальное значение j-й переменной одной задачи строго положительно, то j-е ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.

Экономический смысл полученных результатов.

Смысл двойственных оценок ресурсов у1=2, у2=0, у3=9 показывает, что добавление одной единицы 1-го (2-го;3-го) ресурса обеспечит прирост прибыли на 2 (0, 9) денежных единиц.