Задача о максимальном потоке в сети

Постановка задачи

Рассмотреть задачу о максимальном потоке в сети. Решить конкретную задачу на сети с 8-9 вершинами.

Исходные данные

Определить максимальный поток в сети, изображенной на Рисунке 6 из вершиныx₀в вершинуx₈, где числа на дугах, снабженные стрелками, означают пропускные способности этих дуг в указанных направлениях.

Рисунок 6

Решение

Составим матрицу пропускных способностей дуг данной сети и представим сеть в матричной форме (см. Таблицу 1).

Таблица 1

xj xi	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0		2	4	2-
x1				1		5
x2					3
x3	+				5	1		6-
x4			2					5
x5		4		1			3
x6						2		8
x7				+	5		2

В качестве начального возьмем нулевой поток z⁰_ij= 0. Найдем какой-нибудь путь, идущий изx₀вx₇по ненасыщенным дугам. Для этого в нулевой строке таблицы выберем какой-нибудь элементc_ij, отличный от нуля, напримерc₀₃. Из вершиныx₀можно перейти вx₃. Для наглядности дугу (x₀,x₃) проведем прямо в нулевой строке таблицы из нулевого столбца в 3-й. Теперь мы находимся в вершинеx₃. Чтобы зафиксировать это, сместимся по пятому столбцу до строки с тем же 3-м номером. В 3-й строке имеется 3 ненулевых элемента соответственно в 4-м, 5-м и 7-м столбцах. Это означает, что изx₃можно перейти или вx₄, вx₅или вx₇. Пойдем в стокx₇. Этот переход изображен стрелкой в 3-й строке с началом в 3-м столбце и концом в 7-м. Таким образом, по таблице пропускных способностей дуг сети мы нашли путь, ведущий по ненасыщенным дугам из источника в сток:

₁= [x₀,x₃,x₇].

Теперь по таблице надо узнать пропускную способность ₁найденного пути и уменьшить пропускные способности всех дуг этого пути на₁, а симметричных им дуг – увеличить на₁. Для этого отмечаем знаком «-» числа в тех клетках, где находятся концы дуг, а числа в клетках, симметричных указанным относительно главной диагонали, отмечаем знаком «+». Пропускная способность найденного пути, очевидно, равна наименьшему среди чисел, отмеченных знаком «-» (Таблица 1).

₁= 2

Из всех чисел, отмеченных знаком «-», вычитаем наименьшую пропускную способность ₁. Получаем Таблицу 2. Это – сеть с измененными пропускными способностями дуг.

Таблица 2

xj xi	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0		2	4-
x1				1		5
x2	+				3-
x3	2				5	1		4
x4			2+					5-
x5		4		1			3
x6						2		8
x7				2	5+		2

Ищем новый путь, идущий из источника в сток по ненасыщенным дугам и процедуру повторяем. Получаем путь ₂и пропускную способность₂:

₂= [x₀,x₂,x₄,x₇]

₂= 3

Далее

Таблица 3

xj xi	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0		2-	1
x1	+			1		5-
x2	3
x3	2				5	1		4
x4			5					2
x5		4+		1			3-
x6						2+		8-
x7				2	8		2+

₃ = [x₀, x₁, x₅, x₆, x₇]

₃ = 2

Таблица4

xj xi	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0			1
x1	2			1		3
x2	3
x3	2				5	1		4
x4			5					2
x5		6		1			1
x6						4		6
x7				2	8		4

Из Таблицы 4 видно, что не существует ни одного пути из источника в сток. (Из x₀можно перейти только вx₂, а оттуда – обратно вx₀). Следовательно, увеличить поток нельзя.

Для определения величины полученного максимального потока вычитаем из элементов Таблицы 1 соответствующие элементы Таблицы 4. Записывая только положительные из найденных разностей, получаем Таблицу 5, указывающую максимальный поток в заданной сети с величиной

w* =z₃₇+z₄₇+z₆₇=₁+₂+₃= 7

Таблица 5

xj xi	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0		2	3	2
x1						2
x2					3
x3								2
x4								3
x5							2
x6								2
x7