§ 1. Оптимальное производственное планирование

1.1. Линейная задача производственного планирования

Задача линейного оптимального планирования – один из важнейших математических инструментов, используемых в экономике. Рассмотрим предприятие, которое из mвидов ресурсов производитnвидов продукции. Известны нормы расходаa[i,j]– количество единиц i-го ресурса, расходуемое на производство одной единицыj-говида продукции. Известны запасы ресурсов –i-горесурса имеетсяb[i], известны удельные прибылиc[j]– прибыли от реализации одной единицыj-говида продукции. План производстваX=(x[1],..., x[n])называется допустимым, если имеющихся ресурсов для него достаточно. Рассматриваемая задача состоит в нахождении допустимого плана, дающего максимальную прибыль из всех допустимых планов. Такой план называется оптимальным. Симплекс-метод является наиболее мощным и распространенным методом решения подобных задач, называемых задачами линейного программирования – ЛП.

Заданы удельные прибыли, нормы расхода и запасы ресурсов и компьютер решает поставленную задачу симплекс-методом.

26	35	18	30
2	5	1	4	126
3	0	7	2	84
2	1	4	0	75

Обозначим x₁, x₂, x₃, x₄– число единиц 1-й, 2-й, 3-й, 4-й продукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:

P(x₁, x₂, x₃, x₄)=26∙x₁+35∙x₂+18∙x₃+30∙x₄→max

2∙x₁+5∙x₂+1∙x₃+4∙x₄≤126

3∙x₁+0∙x₂+7∙x₃+2∙x₄≤84

2∙x₁+1∙x₂+4∙x₃+0∙x₄≤75

x₁, x₂, x₃, x₄≥0

Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавим неотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в равенства, в силу этого добавляемые переменные называются балансовыми. Получается задача ЛП на максимум, все переменные неотрицательны, все ограничения есть равенства и есть базисный набор переменных: x₅– в 1-м равенстве,x₆– во 2-м иx₇– в 3-м . Теперь можно запускать симплекс-метод.

P(x₁ – x₇)=26∙x₁+35∙x₂+18∙x₃+30∙x₄+0∙x₅+0∙x₆+0∙x₇→max

2∙x₁+5∙x₂+1∙x₃+4∙x₄+1∙x₅=126

3∙x₁+0∙x₂+7∙x₃+2∙x₄+ 1∙x6=84

2∙x₁+1∙x₂+4∙x₃+0∙x₄+ 1∙x7=75

x₁ – x₇≥0

Таблица №1

			26	35	18	30	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	X3	x4	x5	X6	x7
0	x5	126	2	5	1	4	1	0	0	25.2
0	x6	84	3	0	7	2	0	1	0	–
0	x7	75	2	1	4	0	0	0	1	75
	P	0	-26	-35	-18	-30	0	0	0

Если все оценочные коэффициенты (зеленый цвет) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Если же есть отрицательный оценочный коэффициент, то находят самый малый из них. Если в столбце коэффициентов над ним (голубой цвет) нет положительных, то задача не имеет решения. Задача оптимального планирования не может быть таковой, поэтому ищут минимальное отношение свободных членов к положительным элементам указанного столбца (это отношение указано справа от таблицы голубым цветом, а минимальное отношение – красным). В пересечении двух голубых строки и столбца получаем разрешающий элемент (красный цвет) и затем строим новую таблицу.

Таблица №2

			26	35	18	30	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	X7
35	x2	25.2	2/5	1	1/5	4/5	1/5	0	0	63.75
0	x6	84	3	0	7	2	0	1	0	28
0	x7	49.8	8/5	0	19/5	-4/5	-1/5	0	1	31.125
	P	882	-12	0	-11	-2	7	0	0

Если есть отрицательные оценочные коэффициенты (зеленый цвет), то проделываем то же самое еще раз (см. выше).

Таблица №3

			26	35	18	30	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
35	x2	14	0	1	-11/15	8/15	1/5	-2/15	0
26	x1	28	1	0	7/3	2/3	0	1/3	0
0	x7	5	0	0	1/15	-28/15	-1/5	-8/15	1
	P	1218	0	0	17	6	7	4	0

Оптимальное решение: x₁=28,x₂=14,x₇=5, все остальные переменные равны 0; максимум целевой функции равен 1218;значение переменной с номеромiбольшим 4 есть остаток(i-4)-горесурса.

Так как все оценочные коэффициенты (зеленый цвет) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Выше выписан ответ.