§ 4. Социально-экономическая структура общества

4.1. Модель распределения богатства в обществе

Такой моделью является так называемая «диаграмма или кривая Лоренца» распределения богатства в обществе.

Рассмотрим функцию , которая сообщает, что-я часть самых бедных людей общества владеет -йчастью всего общественного богатства (см. рис.). Если бы распределение богатства было бы равномерным, то график функции шел бы по диагонали квадрата.

Поэтому, чем меньше площадь заштрихованной линзы, тем равномернее распределено богатство в обществе. Величина этой площади называется также коэффициентом Джинни. Сама функцияназывается функцией распределения богатства в обществе.

Исходя из содержательного смысла функции можно доказать, что эта функция и первые ее две производные положительны на [0,1].

Пусть .,.L`(z) иL``(z)>0 приz>0.

Вычислим коэффициент Джинни. Имеем , значит,.

Назовем распределение богатства в обществе опасно несправедливым, если . Следовательно, функция свидетельствует об опасном распределении богатства.

Зная функцию найдем другую функцию«такую часть всего богатства общества имеет-я часть самых богатых людей». Имеем.. В частности, для функции из примера получаем. Так что, в этом случае, десятая часть самых богатых владеет 38 % всего богатства.

Таким образом, w’(t)>0 при 0<t<1, а w’’(t)<0 при 0<t<1.

По функции определим еще одну функцию:. Эта функция определена на отрезке [0,1/2].

Как найти часть богатства, которой владеет срединная часть общества – богаче, чем 1/4 самых бедных, но беднее, чем 1/4 самых богатых?

Эта часть равна=0,272

Отметим, что функции ,,не дают представления об абсолютном богатстве общества, а лишь о распределении богатства внутри него.

4.2. Распределение общества по получаемому доходу

Пусть есть доля получающих месячный доход меньшепо отношению ко всем, имеющим какой-нибудь денежный доход (всех таких членов общества назовем налогоплательщиками). Функциювполне правильно трактовать, как функцию распределения случайной величины (с.в.)– месячный доход случайного налогоплательщика. С.в.можно считать непрерывной. Функцияможет быть интересна для налоговой инспекции.

Конкретно, пусть .

Определим размер месячного дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью 0,3. Найдем также средний месячный доход.

Решение:

Итак найдем размер месячного дохода B_p, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностьюp. Так какесть вероятность, то[1000/(1000+В_р)]⁸=0,3.

Следовательно,

Теперь найдем средний месячный доход.

Сначала найдем плотность распределения с.в.. Она есть производная функции. Таким образом,f(x)=0.008*[1000/(1000+x)]⁹

Средний месячный доход есть математическое ожидание с.в.I, т.е.

Средняя величина подоходного налога, уплачиваемого за месяц при ставке процента 0,13 равно N(х)= 0,13*I=18,57.

Другой характеристикой распределения дохода является коэффициент Рейнбоу, который находится как отношение решений уравнений F(z)=0.9иF(z)=0.1, т.е. этот коэффициент показывает отношение доходов 10% членов общества с самыми высокими доходами к доходам 10% с самыми низкими доходами. Если это отношение превышает 20, то распределение доходов называется несправедливым, иначе нормальным.

В нашем случае: F(z)=0.9приz=-2000 ln0,1иF(z)=0.1приz=2000ln0,9. Коэффициент Рейнбоу равен10,79, следовательно, распределение дохода можно считать справедливым.

Отметим, что в отличие от функций ,,из пункта 4.1., которые не дают представления об абсолютном богатстве общества, а лишь о распределении богатства внутри него, функция, как раз наоборот, дает довольно хорошее представление об уровне жизни.