§ 1. Оптимальное производственное планирование

1.1. Линейная задача производственного планирования

Задача линейного оптимального планирования – один из важнейших математических инструментов, используемых в экономике. Рассмотрим предприятие, которое из mвидов ресурсов производитnвидов продукции. Известны нормы расходаa[i,j]– количество единиц i-го ресурса, расходуемое на производство одной единицыj-говида продукции. Известны запасы ресурсов –i-горесурса имеетсяb[i], известны удельные прибылиc[j]– прибыли от реализации одной единицыj-говида продукции. План производстваX=(x[1],..., x[n])называется допустимым, если имеющихся ресурсов для него достаточно. Рассматриваемая задача состоит в нахождении допустимого плана, дающего максимальную прибыль из всех допустимых планов. Такой план называется оптимальным. Симплекс-метод является наиболее мощным и распространенным методом решения подобных задач, называемых задачами линейного программирования – ЛП.

Заданы удельные прибыли, нормы расхода и запасы ресурсов и компьютер решает поставленную задачу симплекс-методом.

35	41	22	12
2	2	3	4	151
3	1	0	2	156
1	4	4	0	162

Обозначим x₁, x₂, x₃, x₄– число единиц 1-й, 2-й, 3-й, 4-й продукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:

P(x₁, x₂, x₃, x₄)=35∙x₁+41∙x₂+22∙x₃+12∙x₄→max

2∙x₁+2∙x₂+3∙x₃+4∙x₄≤151

3∙x₁+1∙x₂+0∙x₃+2∙x₄≤156

1∙x₁+4∙x₂+4∙x₃+0∙x₄≤162

x₁, x₂, x₃, x₄≥0

Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавим неотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в равенства, в силу этого добавляемые переменные называются балансовыми. Получается задача ЛП на максимум, все переменные неотрицательны, все ограничения есть равенства и есть базисный набор переменных: x₅– в 1-м равенстве,x₆– во 2-м иx₇– в 3-м . Теперь можно запускать симплекс-метод.

P(x₁ – x₇)=35∙x₁+41∙x₂+22∙x₃+12∙x₄+0∙x₅+0∙x₆+0∙x₇→max

2∙x₁+2∙x₂+3∙x₃+4∙x₄+1∙x₅=151

3∙x₁+1∙x₂+0∙x₃+2∙x₄+ 1∙x6=156

1∙x₁+4∙x₂+4∙x₃+0∙x₄+ 1∙x7=162

x₁ – x₇≥0

Таблица №1

			35	41	22	12	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	X3	x4	x5	X6	x7
0	x5	151	2	2	3	4	1	0	0	75.5
0	x6	156	3	1	0	2	0	1	0	156
0	x7	162	1	4	4	0	0	0	1	40.5
	P	0	-35	-41	-22	-12	0	0	0

Если все оценочные коэффициенты (зеленый цвет) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Если же есть отрицательный оценочный коэффициент, то находят самый малый из них. Если в столбце коэффициентов над ним (голубой цвет) нет положительных, то задача не имеет решения. Задача оптимального планирования не может быть таковой, поэтому ищут минимальное отношение свободных членов к положительным элементам указанного столбца (это отношение указано справа от таблицы голубым цветом, а минимальное отношение – красным). В пересечении двух голубых строки и столбца получаем разрешающий элемент (красный цвет) и затем строим новую таблицу.

Таблица №2

			35	41	22	12	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	X7
0	x5	70	6/4	0	1	4	1	0	-1/2	46.7
0	x6	231/2	11/4	0	-1	2	0	1	-1/4	42
41	x2	162/4	1/4	1	1	0	0	0	1/4	162
	P	3321/2	-99/4	0	19	-12	0	0	41/4

Если есть отрицательные оценочные коэффициенты (зеленый цвет), то проделываем то же самое еще раз (см. выше).

Таблица №3

			35	41	22	12	0	0	0
С	Б	Н	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x5	7	0	0	17/11	32/11	1	-6/11	17/22
35	x1	42	1	0	-4/11	8/11	0	4/11	-1/11
41	x2	30	0	1	12/4	-2/11	0	-1/11	3/11
	P	2700	0	0	10	6	0	9	8

Оптимальное решение: x₁=42,x₂=30,x₅=7, все остальные переменные равны 0; максимум целевой функции равен 2700;значение переменной с номеромiбольшим 4 есть остаток(i-4)-горесурса.

Так как все оценочные коэффициенты (зеленый цвет) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны 0, максимум целевой функции указан правее буквы P. Выше выписан ответ.