Матричная модель сотрудничества и конкуренции

Постановка задачи

Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции. Найти графическое решение игры. Указать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

Исходные данные

1	2	4	0
2	0	-2	3

Решение

Сведем данный случай матричной игры (2*4) к анализу игры 2*2. Для этого необходимо графическое решение (см. Рисунок 3).

Рисунок 3

Как видно из Рисунка 3, данная матричная игра сводится к варианту

0	2
3	0

Рассчитаем оптимальные стратегии игроков P* и Q*:

p^*₁ = (a₂₂ - a₂₁) / (a₁₁ + a₂₂ - a₁₂ - a₂₁) = (0 - 3) / (0 + 0 – 2 – 3) = 3/5

p^*₂ = (a₁₁ - a₁₂) / (a₁₁ + a₂₂ - a₁₂ - a₂₁) = (0 - 2) / (0 + 0 – 2 – 3) = 2/5

q^*₁ = (a₂₂ - a₁₂) / (a₁₁ + a₂₂ - a₁₂ - a₂₁) = (0 - 2) / (0 + 0 – 2 – 3) = 2/5

q^*₂ = (a₁₁ - a₂₁) / (a₁₁ + a₂₂ - a₁₂ - a₂₁) = (0 - 3) / (0 + 0 – 2 – 3) = 3/5

P* = (3/5, 2/5)

Q* = (2/5, 3/5)

Рассчитаем цену игры v:

_{n m}

v =  a_ij * p_i * q_j = 0 * 3/5 * 2/5 + 3 * 2/5 * 2/5 + 2 * 3/5 * 3/5 + 0 * 2/5 * 3/5 = 6/5

^{j=1 i=1}

Рассчитаем среднюю дисперсию и риск:

_{n m n m n m}

D* =  a_ij² * p^*_i * q^*_j - ( a_ij * p^*_i * q^*_j)² =  a_ij² * p^*_i * q^*_j - v² =

^{j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1}

= 0 * 3/5 * 2/5 + 9 * 2/5 * 2/5 + 4 * 3/5 * 3/5 + 0 * 2/5 * 3/5 – 36/25 = 36/25

r =  D* =  36/25 = 6/5 = 1.2

Рассчитаем риски игры r для Первого и Второго игроков:

_n

D_j = a_i² * p^*_i - v²

ⁱ⁼¹

D₁ = 0 * 3/5 + 9 * 2/5 – 36/25 = 54/25

D₂ = 4 * 3/5 + 0 * 2/5 – 36/25 = 24/25

r₁⁽¹⁾ =  54/25 = 1.47

r₁⁽²⁾ =  24/25 = 0.98

Зависимость риска Первого в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на Рисунке 4.

r₁⁽²⁾ = 0.98 r = 1.2 r₁⁽¹⁾ = 1.47

6/5

Рисунок 4

Как видно из Рисунка 4, при отходе Первого от своей оптимальной стратегии вправо, т.е. при увеличении вероятности выбора им 1-ой строки, Второй отвечает своей 1-ой чистой стратегией и риск Первого скачком увеличивается до r₁⁽¹⁾ = 1.47, а при отходе Первого от своей оптимальной стратегии влево Второй отвечает своей 2-ой чистой стратегией и риск Первого скачком снижается до r₁⁽²⁾ = 0.98.

Аналогично - в отношении второго:

_n

D_i = a_j² * q^*_j - v²

^j=1

D₁ = 0 * 2/5 + 4 * 3/5 – 36/25 = 24/25

D₂ = 9 * 2/5 + 0 * 3/5 – 36/25 = 54/25

r₂⁽¹⁾ =  24/25 = 0.98

r₂⁽²⁾ =  54/25 = 1.47

Зависимость риска Второго в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на Рисунке 5.

r₂⁽¹⁾ = 0.98 r = 1.2 r₂⁽²⁾ = 1.47

6/5

Рисунок 5

Как видно из Рисунка 5, при отходе Второго от своей оптимальной стратегии вправо, т.е. при увеличении вероятности выбора им 1-го столбца, Первый отвечает своей 2-ой чистой стратегией и риск Второго скачком увеличивается до r₂⁽²⁾ = 1.47, а при отходе Второго от своей оптимальной стратегии влево его риск скачком снижается до r₂⁽¹⁾ = 0.98.

Величина r^* = min(r₁⁽¹⁾, r₁⁽²⁾, r₂⁽¹⁾, r₂⁽²⁾) - риск всей игры.

r^* = min(1.47, 0.98, 0.98, 1.47) = 0.98.

С таким риском можно играть только при сотрудничестве обеих сторон. Для достижения такого риска игроки должны играть следующим образом: Первый игрок использует свою оптимальную стратегию P^*(3/5, 2/5), а Второй отвечает своей 2-ой чистой стратегией, либо Второй игрок использует свою оптимальную стратегию Q^*(2/5, 3/5), а Первый отвечает своей 1-й чистой стратегией.