Двойственная задача
Постановка задачи
Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.
Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.
Сформулировать задачу о расшивке “узких мест” производства и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о “расшивке узких мест производства” при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.
Исходные данные – см. Задачу 1.
Решение
При решении двойственной задачи требуется найти оценку единицы каждого вида ресурса. Это - задача линейного программирования, постановка которой формулируется следующим образом.
Найти вектор двойственных оценок
(у1, у2, у3),
минимизирующий общую всех ресурсов
f = 142 * y1 + 100 * y2 + 122 * y3
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции
-
2 * у1
+
у2
+
3 * y3
>=
34
5 * у2
+
4 * у3
>=
20
2 * у1
+
4 * y2
>=
8
3 * у1
+
2 * y2
+
у3
>=
23
причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными
у1 >= 0, у2 >= 0, у3 >= 0.
Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х(х1,х2,х3) и у(у1,у2,у3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий
-
х1 * (
2 * у1
+
у2
+
3 * y3
-
34
) = 0
х2 * (
5 * у2
+
4 * у3
-
20
) = 0
х3 * (
2 * у1
+
4 * y2
-
8
) = 0
х4 * (
3 * у1
+
2 * y2
+
у3
-
23
) = 0
-
у1 * (
2 * х1
+
2 * х3
+
3 * х4
-
142
) = 0
у2 * (
х1
+
5 * х2
+
4 * x3
+
2 * х4
-
100
) = 0
у3 * (
3 * х1
+
4 * х2
+
х4
-
122
) = 0
Ранее (см. Задачу 1) было найдено, что в решении исходной задачи х1>0 и х4>0. Поэтому
-
2 * у1
+
у2
+
3 * y3
-
34
= 0
3 * у1
+
2 * y2
+
у3
-
23
= 0
Если же учесть, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю:
y2 = 0
то приходим к системе уравнений
-
2 * у1
+
3 * y3
-
34
= 0
3 * у1
+
у3
-
23
= 0
откуда следует
у1 = 5,
у3 = 8.
Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов
у1 = 5, у2 = 0, у3 = 8,
причем общая оценка всех ресурсов равна
fmin = 1686
Заметим, что это решение содержалось в последней строке симплексной таблицы исходной задачи.
Экономический смысл
Двойственная оценка 1-го ресурса у1 = 5 показывает, что добавление одной единицы этого ресурса обеспечит прирост прибыли в 5 единиц, двойственная оценка 3-го ресурса у3 = 8 - что добавление одной единицы 3-го ресурса обеспечит прирост прибыли в 8 единиц. Двойственная оценка 2-й технологии = 12 показывает, что если произвести одну единицу продукции 2-го вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 12 единиц, оценка 3-й технологии = 18 - что производство одной единицы продукции 3-го вида снизит прибыль на 18 единиц.
При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, т.е. образуют “узкие места производства”. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t1, t2, t3) - вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие
H + Q-1 * T >= 0
Задача состоит в том, чтобы найти вектор
T (t1, t2, t3)
максимизирующий суммарный прирост прибыли
w = 5 * t1 + 8 * t3 (1)
при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)
-
26
3/7
0
-2/7
t1
0
16
+
-5/7
1
1/7
*
0
>=
0
(2)
32
-1/7
0
3/7
t3
0
предполагая, что дополнительно можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида
-
t1
142
0
=<
1/3
*
100
(3)
t3
122
причем по смыслу задачи
t1 >= 0, t3 >= 0 (4)
Переписав неравенства (2) и (3) в виде
-
-3 * t1
+
2 * t3
=<
182
5 * t1
-
t3
=<
112
t1
-
3 * t3
=<
224
(5)
t1
=<
47.33
t3
=<
40.67
приходим к задаче линейного программирования: максимизировать (1) при условиях (4), (5).
Эту задачу решаем графическим методом (см. Рисунок 2).
Рисунок 2
Решаем систему уравнений:
-
5 * t1
-
t3
=
112
t3
=
40.67
Программа “расшивки” имеет вид
t1 = 30.53, t2 = 0, t3 = 40.67
и прирост прибыли составит
w = 478.01
Сводка результатов приведена в Таблице 2.
Таблица 2
|
cj |
30 |
28 |
9 |
23 |
bi |
x4+i |
yi |
ti |
|
|
2 |
0 |
2 |
3 |
142 |
0 |
5 |
30.53 |
|
aij |
1 |
5 |
4 |
2 |
100 |
16 |
0 |
0 |
|
|
3 |
4 |
0 |
1 |
122 |
0 |
8 |
40.67 |
|
xj |
32 |
0 |
0 |
26 |
1686 |
|
|
478.01 |
|
j |
0 |
12 |
18 |
0 |
|
|
|
|