X. Решение многокритериальной задачи методом последовательных уступок.

Трехкритериальная задача:

z

{

₁ = c₁₁x₁ + c₁₂x₂  max

z₂ = c₂₁x₁ + c₂₂x₂  max

z₂ = c₃₁x₁ + c₃₂x₂  max

г

{

де критерии ранжированы и пронумерованы по важности и на переменные наложены ограничения:

а₁₁x₁ + a₁₂x₂  b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂  b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂  b₃

x₁  0,x₂  0

Исходные данные задачи имеют вид:

1	7	Δ1
4	4	Δ2
8	2	--
1	4	40
5	3	64
-6	-7	-87

П

{

одставляя данные индивидуального задания получим:

z₁ = 1x₁ + 7x₂  max

z₂ = 4x₁ + 4x₂  max

z₂ = 8x₁ + 2x₂  max

{

x₁ + 4x₂  40

5х₁ + 3x₂  64

-6x₁ - 7x₂  -87

x₁  0, x₂  0

{

x₁ + 4x₂  40 (1)

5х₁ + 3x₂  64 (2)

6x₁ + 7x₂  87 (3)

x₁  0, x₂  0

М

{

аксимизируемz₁ при условиях (1) - (3) и графически решаем. Решение -точка А, найдём её координаты:

х₁ = 0 х₁* = 0

6х₁ + 7х₂ = 87 х₂* =20

Z₁*_max = 140

Пусть Δ₁ = 56, тогда Z₁* - Δ₁ = 84 и вводим новое ограничение

х₁ + 7х₂  84 (4)

Максимизируем Z₂ при условиях (1)-(3) и (4). Решение - точка В.

Н

{

айдём её координаты

х₁ + 4х₂ = 80 х₁* = 0,97

5x₁ + 3х₂ = 64 х₂* = 19,76

Z₂*_max = 4*0,97 + 4*19,76 = 82,87

Пусть Δ₂ = 18.87, тогда Z₂* - Δ₂ = 82,88-18,87 = 64 и вводим новое ограничение

4х₁ + 4х₂  64 (5)

Максимизируем z₃ при условиях (1)-(3) и (5). Решение - точка С. Её координаты х₁* = 6,09 ; х₂* = 11,13

Получаем оптимальное решение трёхкритериальной задачи при х₁ = 6,09 и х₂ = 11,13.

Z_{1 max} = 1*6,09 + 7*11,13 = 84

Z_{2 max} = 4*6,09 + 4*11,13 = 68,88

Z_{3 max} = 8*6,09 + 2*11,13 = 70,98

Хi. Решение матричной модели производственной программы.

а11	a12	а13	у1
а21	a22	а23	у2
а31	a32	а33	у3
b11	b12	b13
b21	b22	b23
b31	b32	b33
b41	b42	b43

Подставив значения из индивидуального задания имеем:

0	1	0,4	50
0,1	0	0,2	40
0,3	0	0,1	30
0	7	8
4	3	2
50	40	20
0,1	0	0,2

Экономическая система состоит из 4–ёх взаимосвязанных отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Продукция идёт либо на экспорт, либо на внутреннее потребление.

Дана структурная матрица производства

0 1 0,4

А = 0,1 0 0,2

0,3 0 0,1

матрица коэффициентов прямых затрат

0 7 8

B = 4 3 2

50 40 20

0,1 0 0,2

вектор товарной продукции ( Y_i – конечный продукт идущий на экспорт)

50

Y = 40

30

i – номер отрасли.

Определить: матрицу коэффициентов постоянных затрат Q, вектор производственной программы X, матрицу Н коэффициентов полных затрат внешних ресурсов на единицу выпуска товарной продукции каждого вида и вектор S полных затрат всех видов ресурсов, необходимых на весь объём товарной продукции.

С помощью преобразований Жордана-Гаусса найдём элементы обратной матрицы:

1 0 0 0 0,1 0,4 1 -0,1 -0,4

Е - А = 0 1 0 - 0,1 0 0,2 = -0,1 1 -0,2

0 0 1 0,3 0 0,1 -0,3 0 0,9

1,17 0,12 0,55

Q=(E - A)^-1 = 0,19 1,02 0,31

0,39 0,04 1,3

Вектор производственной программы найдём так:

1,17 0,12 0,55 50 80

X = Q * Y = 0,19 1,02 0,31 * 40 = 60

0,39 0,04 1,3 30 60

X_i – валовый выпуск продукции i - й отрасли.

Матрицу Н найдём следующим образом:

0 7 8 1,17 0,12 0,55 4,45 7,46 12,6

Н = B * Q = 4 3 2 * 0,19 1,02 0,31 = 6,03 3,62 5,73

50 40 20 0,39 0,04 1,3 73,9 47,6 65,9

0,1 0 0,2 0,2 0,02 0,32

Н_IJ – полные затраты i–го внешнего ресурса на единицу выпуска j–ой товарной продукции.

Элементы вектора S вычислим так:

4,45 7,46 12,6 50 899

S = H * Y = 6,03 3,62 5,73 * 40 = 618

73,9 47,6 65,9 30 7576

0,2 0,02 0,32 20

S_i – полные затраты i–го вида ресурса на весь объём товарной продукции.