Опорный план первой двойственной симплексной таблицы.

При данном производстве ни один из ресурсов не продаётся и прибыли от продажи ресурсов равны 0. Так как ресурсы не продаются, то числа –27,-39,-18,-20 соответствуют прибыли, полученной от продажи единицы первого, второго, третьего, четвёртого товара в случае его производства или суммарным затратам всех видов ресурсов на производство i-ого продукта, соответственно. Они показывают на сколько единиц возможно увеличить прибыль от продажи всех видов ресурсов, предназначенной для изготовления одной единицы i-ого товара, то есть суммарные затраты. Значения –140,-90,-198 в строке оценочных коэффициентов показывают, что все ресурсы остались в том же количестве, что и были, то есть не были использованы.

Вся эта таблица – для оптимальной продажи ресурсов. Так как существует возможность увеличения прибыли (это показывает числа столбца базисного решения), то определяем минимальные цены ресурсов по которой выгодно их продать. Наиболее высокой ценой продажи должны обладать ресурсы затрачиваемые на производство второго товара. Эта цена (39 денежных единиц) служит ограничивающим фактором, то есть менее чем по этой цене предприниматель не согласится уступить эти ресурсы. Второй товар изготавливается из трёх ресурсов. Наиболее выгодно будет уступить второй ресурс, так как из него получается меньше всего изделий. В связи с этим в базис помещается оценка второго ресурса, а второй товар исключаем.

Решение двойственной задачи на основе второй основной теоремы двойственности (о дополняющей нежесткости).

Вторая теорема двойственности (о дополняющей нежесткости ) гласит: для того, чтобы х* =(х₁,...,х_n) и y*=(y₁,...,y_n) являлись оптимальным решением соответствующих задач двойственной пары, необходимо и достаточно выполнение условий :

X_j  a_ij y_j – C_j = 0 j = 1,n

Y_i  a_ij x_j – в_i = 0 i = 1,m

Другими словами, дефицитный (избыточный) ресурс, полностью (неполностью) используемый по оптимальному плану производства имеет положительную (нулевую) оценку и технология, применяемая с ненулевой (нулевой) интенсивностью, имеет нулевую (положительную) оценку.

И

{

так, для решения задачи 1”-3” необходимо и достаточно выполнения условий:

x₁(2y₁ + 3y₃ - 27) = 0

x₂( y₁ + 3y₂ + 2y₃ - 39) = 0

x₃(6y₁ + 4y₃ - 18) = 0

x₄(5y₁ + 4y₂ - 20) = 0

{

y₁(2x₁ + 1x₂ + 6x₃ + 5x₄ - 140) = 0

y₂( 3x₂ + 4x₄ - 90) = 0 y₃(3x₁ + 2x₂ + 4x₃ - 198) = 0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х₁>0 и x₂>0. Поэтому 2y₁ + 3y₃ - 27 = 0

y₁ + 3y₂ + 2y₃ - 39 = 0

Учитывая, что 1-ый ресурс был избыточным, а следовательно его двойственная оценка равна 0, мы получим систему уравнений:

{

3y₃ = 27

3у₂ + 2y₃ = 39

Таким образом, двойственные оценки ресурсов следующие:

у₁ = 0 у₂ =7 , у₃ = 9, причём общая оценка всех ресурсов равна:

f_min =140*0 + 90*7 + 198*9 = 2412.

Заметим, что данное решение содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи.