Выводы.

1. Оптимальная производственная программа имеет вид :

Х₁=46, Х₂=30, Х₃=0, Х₄=0, или Х=(46,30,0,0).

2. Максимальная прибыль равна Zmax=2412.

3. Использование ресурсов:

2-й и 3-ий ресурс используется полностью (Х₆=0,Х₇=0), а 1-ый ресурс имеет остаток Х₅=18 единиц.

2. При выполнении производственной программы 2-й и 3-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”.

III. Указание обращённого базиса q, соответсвующего оптимальному выбору базисных неизвестных. Проверка выполнения соотношений.

Обращённый базис Q , соответствующий оптимальной производственной программе, содержатся в последней симплексной таблице в первой, второй, третьей строках девятого ,десятого и одиннадцатого столбцов:

1 1/9 -2/3

Q^-1 = 0 1/3 0

0 -2/9 1/3

Проверим выполнение соотношений :

1. Q*B = H

2. Q * A_j = C_j, где j=1...n;

2 1 6 5 140

A₁= 0 A₂= 3 A₃= 0 A₄= 4 , и т.д. В= 90

3 2 4 0 198

0 0 10/3

С₁ = 0 С₂= 1 С₃= 0 , и т.д.

1 0 4/3

1. 1 1/9 -2/3 140 18

Q^-1 * B = 0 1/3 0 * 90 = 30 = Н.

0 -2/9 1/3 198 46

2.

1 1/9 -2/3 2 0

Q^-1 * A₁ = 0 1/3 0 * 0 = 0 = C₁,

0 -2/9 1/3 3 1

1 1/9 -2/3 1 0

Q^-1 * A₂ = 0 1/3 0 * 3 = 1 = C₂,

0 -2/9 1/3 2 0

1 1/9 -2/3 6 10/3

Q^-1 * A₃ = 0 1/3 0 * 0 = 0 = C₃,

0 -2/9 1/3 4 4/3

1 1/9 -2/3 5 49/9

Q^-1 * A₄ = 0 1/3 0 * 4 = 4/3 = C₄,

0 -2/9 1/3 0 -8/9

1 1/9 -2/3 1 1

Q^-1 * A₅ = 0 1/3 0 * 0 = 0 = C₅,

0 -2/9 1/3 0 0

1 1/9 -2/3 0 1/9

Q^-1 * A₆ = 0 1/3 0 * 1 = 1/3 = C₆,

0 -2/9 1/3 0 -2/9

1 1/9 -2/3 0 -2/3

Q^-1 * A₇ = 0 1/3 0 * 0 = 0 = C₇,

0 -2/9 1/3 1 1/3

т.е. все соотношения выполняются.

IV. Формулировка двойственной линейной задачи и её решение двойственным симплексным методом.

Математическая модель исходной задачи выглядит следующим образом:

1. z=30x₁+25x₂+14x₃+12х₄max

{

(2) 2x₁ + 1x₂ + 6x₃ + 5x₄  140

3x₂ + 4x₄  90

3x₁ + 2x₂ + 4x₃  198

(3) x_i  0, i=1...4.

Т

{

огда двойственной задачей к (1-3) будет следующая :

(1)’ f = 140y₁ + 90y₂ + 198y₃  min

2y₁ + 4y₃  30

(2)’ y₁ + 3y₂ + 2y₃  25

5y₂ + 4y₃  14

5у₁ + 4у₂  12

(3)’ y_i  0, i = 1...3.

Двойственная задача (1)’- (3)’ получается из исходной (1)-(3) следующим образом:

1. каждому неравенству-ограничению исходной задачи ставим в соответствие переменную двойственной задачи (у), принимающую неотрицательные значения;

2. транспонируем матрицу коэффициентов при неизвестных;

3. правые части ограничений заменяем коэффициентами целевой функции;

4. меняем направление неравенств;

5. коэффициенты целевой функции заменяем правыми частями ограничений;

6. то максимизации целевой функции переходим к минимизации.

Требуется найти оценку единицы каждого вида ресурса У=(у₁,у₂,у₃) (вектор двойственных оценок минимизирующий общую стоимость всех ресурсов, выраженную через функцию f(y₁,y₂,y₃), при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации этой продукции (ограничение 2’), причём оценки ресурсов не могут быть отрицательными (ограничение 3’).

Согласно первой теоремы двойственности, которая гласит, что одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то имеет решение и вторая задача, причём экстремальные значения целевых функций равны.

Для решения задачи двойственным симплексным методом введём дополнительные переменные и перепишем (1)’-(3)’ следующим образом :

(

{

1)’’ f= 140y₁ + 90y₂ + 198₃  min

-2y₁ - 3y₃ + y₄ = -27

(2)’’ - y₁ - 3y₂ - 2y₃ + y₅ = -39

-6y₁ - 4y₃ + y₆ = -18

-5у₁ - 4y₂ + y₇ = -20

(3)’’ y_i  0, i = 1...7.

Для решения задачи (1)”-(2)” надо построить симплексную таблицу, что и сделано далее.

Симплексная таблица в общем виде.

№	Уб	Вб	Н	в1	в2	в3	в4	в5	в6	в7
				У1	У2	У3	У4	У5	У6	У7
1	У1	В1	-С1	1	0	0	0	-а51	-а61	-а71
2	У2	В2	-С2	0	1	0	0	-а52	-а62	-а72
3	У3	В3	-С3	0	0	1	0	-а53	-а63	-а73
4	У4	В4	-С4	0	0	0	1	-а54	-а64	-а74
5	–	–	Сiвj	0	0	0	0	5	6	7

Подставив соответствующие значения, имеем :

	Уб	Вб	Н	140	90	198	0	0	0	0
				У1	У2	У3	У4	У5	У6	У7
1	У4	0	-27	-2	0	-3	1	0	0	0
2	У5	0	-39	-1	-3*	-2	0	1	0	0
3	У6	0	-18	-6	0	-4	0	0	1	0
4	У7	0	-20	-5	-4	0	0	0	0	1
5	–	–	0	-140	-90	-198	0	0	0	0
1	У4	0	-27	-2	0	-3	1	0	0	0
2	У2	90	13	1/3	1	2/3	0	-1/3	0	0
3	У6	0	-18	-6	0	-4	0	0	1	0
4	У7	0	32	-11/3	0	8/3	0	-4/3	0	1
5	–	–	1170	-110	0	-138	0	-30	0	0
1	У3	198	9	2/3	0	1	-1/3	0	0	0
2	У2	90	7	-1/9	1	0	2/9	-1/3	0	0
3	У6	0	18	-10/3	0	0	-4/3	0	1	0
4	У7	0	8	-49/9	0	0	8/9	-4/3	0	1
5	–	–	2412	-18	0	0	-46	-30	0	0

Алгоритм решения задачи.

1. Просматриваем значения 4-го столбца (Н). Если все С_j>0, то оптимальное решение найдено .

2. Если какие-либо -C_j < 0, то находим min(-C_j<0 ) = -С_к .

3. У_к исключаем из базисных переменных .

4. Отыскиваем переменную включаемую в базис:

а. Находим min(_i/a_ij)=_m/a_ij (для всех a_ij < 0), где j - номер строки , соответствующей -С_к.

б. У_m включаем в число базисных переменных.

5. Преобразуем исходную, строим новую симплексную таблицу.

6. Возвращаемся в пункт 1.