Курсовики по прикладной математики / Вар 10 / Математика 2

2.2.Анализ доходности и рискованности финансовых операций.

Исходные данные:

Даны четыре операции Q₁,Q₂ ,Q₃,,Q₄ .

Q1 :	2	6	12	20
	1/4	1/4	1/4	1/4

Q2 :	0	4	5	20
	1/2	1/4	1/5	1/20

Q3 :	2	6	8	22
	1/20	1/4	1/5	1/2

Q4 :	0	4	8	32
	1/2	1/4	1/8	1/8

Задание:

1. Найдите средние ожидаемые доходы Q_i и риски r_i операций.

2. Нанесите точки (r_i ,Q_i) на плоскость, найдите операции, оптимальные по Парето.

3. Выберите какие-нибудь две операции, предложите, что они независимы друг от друга, и выясните, нет ли операции, являющейся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся.

4. С помощью взвешивающей формулы найдите лучшую и худшую операции. Взвешивающая формула одна и та же: f(Q) = 2Q – r

Решение:

1.Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина Q. Средний ожидаемый доход Q – это математическое ожидание с.в. Q: Q = M[Q] =  q_i p_i , где p_i есть вероятность получить доход q_i.

ⁱ

А среднее квадратическое отклонение (СКО)  =  D[Q] – это мера разбросанности возможных значений вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать  количественной мерой риска операции и обозначать r. Таким образом, вводится новый количественный измеритель риска операции.

Найдем ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

Q1 :	2	6	12	20
	1/4	1/4	1/4	1/4

Q₁ = M[Q] =  q_i ^. p_i = 2^. 1/4 + 6^.1/4 + 12^.1/4 + 20^.1/4 = 10

^j

D[Q] = M[Q²] – Q²

M[Q₁²] = 4^. 1/4 + 36^.1/4 + 144^.1/4 + 400^.1/4 = 146

D[Q] = 146 – 10² = 146 – 100 = 46  r₁ =  46  6,8

Следовательно, Q₁ = 10, r₁  6,8

Q2 :	0	4	5	20
	1/2	¼	1/5	1/20

Q₂ = M[Q] =  q_i ^. p_i = 0^. 1/2 + 4^.1/4 + 5^.1/5 + 20^.1/20 = 3

^j 

D[Q] = M[Q²] –Q²

M[Q₂²] = 0^. 1/2 + 16^.1/4 + 25^.1/5 + 400^.1/20 = 29

D[Q] = 29 – 3² = 20  r₂ =  20  4,5

Следовательно, Q₂ = 3, r₂  4,5

Q3 :	2	6	8	22
	1/20	¼	1/5	1/2

Q₃ = M[Q] =  q_i ^. p_i = 2^. 1/20 + 6^.1/4 + 8^.1/5 + 22^.1/2 = 71/5 = 14,2

^j 

D[Q] = M[Q²] –Q²

M[Q₃²] = 4^. 1/20 + 36^.1/4 + 64^.1/5 + 484^.1/2 = 264

D[Q] = 264 – (71/5)² = 62,36  r₃ =  62,36  7,9

Следовательно, Q₃ = 14,2, r₃  7,9

Q4 :	0	4	8	32
	1/2	¼	1/8	1/8

Q₄ = M[Q] =  q_i ^. p_i = 0^. 1/2 + 4^.1/4 + 8^.1/8 + 32^.1/8 = 6

^j 

D[Q] = M[Q²] –Q²

M[Q₄²] = 0^. 1/2 + 16^.1/4 + 64^.1/8 + 1024^.1/8 = 140

D[Q] = 140 – 6² = 104  r₂ =  104  10,2

Следовательно, Q₄ = 6, r₂  10,2

2. Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали.

Q

. Q₃

. Q₁

. Q₄

. Q₂

r

Получили четыре точки. Чем выше точка (Q, r), тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка (Q' ,r') доминирует точку (Q, r), если Q' ≥ Q и r' ≤ r и хотя бы одно из неравенств строгое. В нашем случае 1-я операция доминирует 4-ю, т.к. Q₁ = 10 > Q₄ = 6 и r₁ = 6,8 < r₄ = 10,2 , и 3-я операция доминирует 4-ю, т.к. Q₃ =14,2 > Q₄ = 6 и r₃ = 7,9 < r₄ = 10,2. Но 1-я и 3-я операции несравнимы – доходность 3-ей больше, но и ее риск тоже больше. В нашем случае множество недоминируемых операций, называемых оптимальными по Парето, состоит из двух – 1-й и 3-й.

3.Предположим, что 2-я и 3-я операции независимы друг от друга с эффективностями е₂ =3, е₃ =14,2 и рисками r₂ = 4,5, r₃ = 7,9. Пусть t – какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операция Qt = (1 – t)Q₂ + tQ₃ называется линейной комбинацией 2-ой и 3-ей операций. При движении от 0 к 1 операция Qt изменяется от 2-ой к 3-ей операции. Эффективность операции Qt равна (1 – t)e₂ + te₃, а риск rt – √ (1 – t)²r₂² + t²r₃² . Линейные комбинации заполняют весь отрезок. Операция Qs, равная (Q₂ + Q₃)/2 – среднее арифметическое операций, операция Qp имеет меньший риск, чем Qs (из графика видно, что r_p = 4,51 < r_s = 6,2). Операция Qp также разделяет точки - линейные комбинации на оптимальные по Парето и нет. Эта операция лучше 2-ой операции (эффект диверсификации).

e

Q₃(7,9;14,2)

14

13

12

11

10

9 Qp(4,51;8,5) Qs(6,2;8,5)

8

7

6

5

4

3 Q₂(4,5;3)

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 r

4.Для нахождения лучшей операции можно используем данную взвешивающую формулу: f(Q) = 2Q – r

f(Q₁) = 210 – 6,8  13,2

f(Q₂) = 23 – 4,5  1,5

f(Q₃) = 214,2 – 7,9  20,5

f(Q₄) = 26 – 10,2  1,8

Видно, что 3-я операция – лучшая, а 2-я – худшая.