3. Задача о “расшивке узких мест”.

Исходные данные:

из задачи 1.1. получили следующие данные

	X5 X4 X1	6 28 40	0 0 1	19/9 2/9 4/9	3 -1 1	0 1 0	1 0 0	-7/9 4/9 -1/9	1/3 -1/3 1/3
	Z	3340	0	7	4	0	0	9	8

Задание:

Решить задачу о “расшивке узких мест”.

Решение:

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют “узкие места производства”. Будем их заказывать дополнительно. Пусть Т(0, t₂, t₃) – вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как используются найденные двойственные оценки, то должно выполняться следующее условие:

H + Q^-1T ≥ 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор , максимизирующий суммарный прирост прибыли:

W = 9 t₂ + 8 t₃

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы), предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

0 102

t₂ ≤ 1/3 204

t₃ 188 ,

причем по смыслу задачи t₂ ≥0, t₃ ≥ 0.

Следовательно, получаем

6 1 -7/9 1/3 0 0

28 + 0 4/9 -1/3 • t₂ ≥ 0

40 0 -1/9 1/3 t₃ 0 .

Перемножим матрицы и получим следующую систему неравенств:

-7/9t₂ + 1/3t₃ ≥ -6, -7t₂ + 3t₃ ≥ -54, (I)

4/9t₂ – 1/3t₃ ≥ -28, 4t₂ – 3t₃ ≥ -252, (II)

-1/9t₂ + 1/3t₃ ≥ -40,  - t₂ + 3t₃ ≥ -360; (III)

t₂ ≤ 204/3, t₃ ≤ 188/3, t₂ ≤204/3, t₃ ≤ 188/3,

t₂ ≥ 0, t₃ ≥ 0; t₂ ≥ 0, t₃ ≥ 0.

Решим данную задачу графически.

t₃

II

84

М

188/3

I

0 54/7 68 t₂

Программа “расшивки” имеет вид

t₂ = 0, t₂ = 242/7 , t₃ = 188/3,

и прирост прибыли составит maxW = 9∙242/7+ 8∙188/3 =17062/21 ≈ 812,48 в точке М(242/7,188/3).