§4. СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ОБЩЕСТВА.

4.1.Модель распределения богатства в обществе.

Исходные данные:

L(z) = z^1+n/2, а так как N=10, то L(z) = z⁶

Задание:

1. Найти коэффициент Джинни и функции w(t) и s(x).

2. Является ли распределение богатства в Вашем обществе опасно несправедливым?

3. Проверьте, что функция L(z) и ее первые две производные положительны, а у положительной функции w(t) первая производная положительная, а вторая отрицательная.

4. Нарисуйте примерные графики функций L(z), w(t), s(x).

5. Есть ли в Вашем обществе средний класс?

Решение:

1. Вычислим коэффициент Джинни. Имеем

₁

1/2 - J = ∫ z⁶dz =1/7, значит, J = 5/14 ≈ 0,36.

⁰

Найдем w(t) и s(x):

w(t) = 1 - L(1- t) = 1- (1 - t)⁶

эта функция сообщает долю общественного богатства, которой владеет t-я часть самых богатых людей.

s(x) = L(1/2 + x) - L(1/2 - x) = (1/2 + x)⁶ - (1/2 - x)⁶

эта функция определена на отрезке [0,1/2]. Она показывает часть богатства, которой обладает середина общества.

2. Т.к. J >1/5, то распределение богатства в обществе опасно несправедливо.

3. Докажем, что функция L(z) и ее первые две производные положительны. Так как функция L(z) = z⁶ является показательной, то она всегда положительная. Найдем первые две производные функции L(z):

L΄(z) = 6∙z⁵,

L΄΄(z) = 6∙5∙z⁴ = 30∙ z⁴,

так как z ≥ 0 (z - часть самых бедных людей общества, которые владеют L-й частью всего общественного богатства),то L΄(z) и L΄΄(z) являются положительными функциями.

Найдем первые две производные положительной функции w(t) = 1- (1 - t)⁶:

w΄(t) = 6∙(1 – t )⁵,

w΄΄(t) = -6∙5(1 – t )⁴ = -30(1 – t )⁴,

так как 1 – t ≥ 0 (1 – t - часть самых богатых людей общества, которые владеют w-й частью всего общественного богатства),то w΄(t) – положительная, а w΄΄(t) – отрицательная функция.

4. Нарисуем примерные графики функций L(z), w(t), s(x):

L(z)

1

w(z)

s(z)

0.5

0.18

L(z)

0.25 0.5 1 z

5. Определим, есть ли в обществе средний класс. Говорят, что в обществе есть средний класс, если L(3/4) - L(1/4) не менее 1/2.

Найдем L(3/4) - L(1/4) = (3/4)⁶ - (1/4)⁶ = 728/4096 ≈ 0,178 < 1/2, т.е. средний класс отсутствует.